Reszta z dzielenia

[Dedemonn]

o) Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ P_(x) = x^{9}+4x-1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q_{x} = x^{3} + 1}\).


Wielomian \(\displaystyle{ Q_{x}}\) ma tylko jeden pierwiastek i z tego powodu nie wiem co z tym począć. Gdyby miał 3 pierwiastki, wtedy z Tw. Bezout otrzymałbym 3 równania z trzema niewiadomymi (dla reszty postaci \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\)) - tu otrzymuję co najwyżej 1 równanie z 3-ema niewiadomymi. ;>

[aga92]

Skorzystaj z wzorów skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ P(x) = x^{9}+4x - 1 = (x^{3})^{3} - 1^{3} + 4x = ( x^{3} - 1 )((x^{3})^{2} + x^{3} + 1) + 4x}\)
Stąd reszta z dzielenia wynosi \(\displaystyle{ 4x}\).

[Dedemonn]

Spodziewałem się uniwersalnego sposobu na tego typu wielomianu, jednak na ten szczególny znalazł się inny sposób.

Z tego powodu drugi przykład z tej serii - jak wyznaczyć resztę z \(\displaystyle{ P_{(x)}/Q_{(x)}}\), gdy \(\displaystyle{ P_{(x)} = x^{20}+5x^{17}-6}\) oraz \(\displaystyle{ Q_{(x)} = x^{3}+1}\)?

Pozdrawiam.