Oblicz sumę pierwiatków

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Arek Maciejak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 7 kwie 2008, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 1 raz

Oblicz sumę pierwiatków

Post autor: Arek Maciejak »

Wielomian W(x) = \(\displaystyle{ 2x ^{4}}\) + \(\displaystyle{ 4x^{3}}\) + \(\displaystyle{ ax^ {2}}\) + bx + 2 ma cztery różne pierwiastki. Oblicz ich sumę.
aga92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 324
Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 121 razy

Oblicz sumę pierwiatków

Post autor: aga92 »

Niech \(\displaystyle{ p, \ q, \ r, \ s}\) - pierwiastki tego wielomianu.
Wtedy \(\displaystyle{ W(x) = 2(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)}\)

Po wymnożeniu tego i uporządkowaniu względem potęg x, przy \(\displaystyle{ x^{3}}\) otrzymasz wyrażenie \(\displaystyle{ -2p-2q-2r-2s = (p+q+r+s)* (-2)}\). Teraz wystarczy porównać tą wartość z wartością współczynnika przy \(\displaystyle{ x^{3}}\) w wielomianie \(\displaystyle{ 2x^{4}+4x^{3}+ax^{2}+bx+2}\). (Wielomiany są równe, więc ich współczynniki też).

Stąd suma pierwiastków tego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ -2}\)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Oblicz sumę pierwiatków

Post autor: bedbet »

Stąd własnie co napisała aga92 biorą się wzory Viete`a dla wielomianów (w tym wypadku na sume pierwiastków). Znając je można od razu kożystając z nich wyliczyć szukaną sume.
ODPOWIEDZ