rozłożenie wielomianu czynniki

[mateusz.ex]

Mam problem z rozłożeniem tego wielomianu na czynniki:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}n^{3}+ \frac{1}{2}n^{2}+ \frac{1}{6}n}\)

[msx100]

\(\displaystyle{ W(n) = \frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n = \frac{5}{6} n^2 + \frac{1}{6} n = \frac{n}{6} (5n + 1)}\)

[mateusz.ex]

w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ \frac{1}{6}n(n+ \frac{1}{2})(n+1)}\), czyli wyniki sie trochę różnią, i dalej mam problem jak dojść do tego. [/latex]

[msx100]

w odpowiedziach wychodzilobby ci, ze wielomian jest stopnia trzeciego a w podanym przykladzie jest stopnia drugiego, wiec cos jest nie tak z odpowiedzia

[mateusz.ex]

sory, mój błąd, pomyliłem sie w przepisywaniu, ale dzieki za to ze chciałeś mi pomóc, a masz moze jakis pomysł na to, bo juz porawiłem.

[msx100]

wyciagnijmy najpierw to co mamy wspolne ale najpierw rozszerzmy zapis wielomianu:
\(\displaystyle{ W(n) = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n = \frac{2}{6} n^3 + \frac{3}{6} n^2 + \frac{1}{6} n}\)
Wyciagamy jako czynnik wspolny dla wielomianu W(n) wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{n}{6}}\) mamy wiec:
\(\displaystyle{ W(n) = \frac{n}{6} \cdot (2n^2 + 3n+1)}\) Teraz korzystajac albo z wzorow Viete'a albo tradycyjnie trzeba znalesc pierwiaski rownania \(\displaystyle{ (2n^2 + 3n+1)=0}\) Mozna tez spojrzec tak: jakie musi byc n aby rownanie zachodzilo. Widzimy, ze dla \(\displaystyle{ n=-1}\) tak bedzie.
Zapiszemy wiec wyrazenie \(\displaystyle{ (2n^2 + 3n+1)}\) w postaci iloczynowej korzystajac z tego, ze \(\displaystyle{ n=-1}\) spelnia rowanie \(\displaystyle{ (2n^2 + 3n+1)=0}\). Mamy wiec:
\(\displaystyle{ 2n^2 + 2n + n + 1 = (2n^2 + 2n) + (n + 1) = 2n(n+1) + (n+1) = (n+1)(2n+1)}\)
Podsumowujac:
\(\displaystyle{ W(n) = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n = \frac{2}{6} n^3 + \frac{3}{6} n^2 + \frac{1}{6} n = \frac{n}{6} \cdot (n+1)(2n+1)}\)
i to raczej wszystko