krotność pierwiastka

[kasss]

Znajdź liczby p i q, dla których równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny.
a)\(\displaystyle{ px^3+qx^2+x-1=0}\)
b)\(\displaystyle{ 125x^3+px^2+qx+8=0}\)
c)\(\displaystyle{ \frac{1}{3} x^3+px^2+ \frac{3}{2} x+q=0}\)

[Crizz]

Skoro wielomian \(\displaystyle{ f(x)=px^{3}+qx^{2}+x-1}\)ma jeden pierwiastek trzykrotny, to można go przedstawić w postaci \(\displaystyle{ f(x)=p(x-a)^{3}}\), gdzie a jest jego pierwiastkiem. Ponadto można ten zapis rozwinąc jako \(\displaystyle{ f(x)=px^{3}-3apx^{2}+3a^{2}px-a^{3}p}\). Teraz wystarczy porównać odpowiednie współczynniki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3ap=q \\ 3a^{2}p=1 \\ a^{3}p=-1 \end{cases}}\).
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy \(\displaystyle{ a=-3, p=\frac{1}{27}, q=9}\).
Podobnie rozwiążesz pozostałe przykłady.