dwie równosci, wielomian W(x)

[południowalolka]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x-p}\) i przez dwumian \(\displaystyle{ x-q}\). Wynikiem dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-p}\) jest wielomian \(\displaystyle{ P(x)= -x ^{2} +10x-16}\), a dzieląc \(\displaystyle{ W(x)}\)przez \(\displaystyle{ x-q}\) otrzymamy \(\displaystyle{ Q(x)= -x ^{2} +52x+100}\). Oblicz \(\displaystyle{ W(49)}\).

Powstaje mi równosc ze:
\(\displaystyle{ (x-q)*Q(x)=(x-p)*P(x)}\)
po wymnozeniu otrzymuje:
\(\displaystyle{ (10+p)x ^{2} +(-16-10p)x+16p=(52+q)x ^{2} +(100-52q)x-100q}\)
następnie mam dwie równosci:
\(\displaystyle{ 16p= 100q}\) i na przykład \(\displaystyle{ 10+p=52+q}\)
po rozwiązaniu wyszło mi ze \(\displaystyle{ q= -\frac{672}{116}}\)

W którymś momencie się myle bo odp jest W(49)=2009. Bede wdzięczna za wskazanie tego błędu:)

[piasek101]

Masz dwie postacie W(x)

Oblicz (z każdej postaci) : W(0) dostaniesz jedno równanie z p i q (zobaczysz swój błąd); W(1) dostaniesz drugie równanie.

[opti]

Przepraszam za archeologię, ale nadal jest problem z tym zadankiem: nawet jak sobie wyliczymy w(0) oraz w(1) to i tak wychodzą nam p i q jako jakieś kosmiczne ułamki, a tymczasem w odpowiedzi mamy coś takiego:

Wielomiany \(\displaystyle{ -(x-p)(x-2)(x-8)}\) oraz \(\displaystyle{ -(x-q)(x-2)(x-50)}\) są równe, zatem \(\displaystyle{ p = 50}\)

Potem jest, że \(\displaystyle{ 47 \cdot 41 = 2009}\) co prawdą nie jest, bowiem wynik tego mnożenia to 1927

Skąd wiadomo, że p = 50 ???

[mat_61]

Jeżeli tak jest w odpowiedzi jak napisałaś, to \(\displaystyle{ Q(x)=-(x-2)(x-50)=-x^2+52x-100}\), czyli inaczej niż w treści zadania.

[anna_]

Nie powinno być czasem:
\(\displaystyle{ Q(x)= -x ^{2} +52x-100}\)
zamiast
\(\displaystyle{ Q(x)= -x ^{2} +52x+100}\)

[mat_61]

A co do pytania dlaczego \(\displaystyle{ p=50}\) (zakładając, że Q(x) jest takie jak napisałem), to wg tego co zacytowałaś (i co jest oczywiście prawdą), to:

\(\displaystyle{ W(x)=-(x-p)(x-2)(x-8)}\) oraz w innej postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=-(x-q)(x-2)(x-50)}\)

Ponieważ jest to ten sam wielomian, to musi mieć taki sam rozkład na czynniki. Jednym z czynników jest \(\displaystyle{ (x-2)}\) drugim jest \(\displaystyle{ (x-8)}\) który jest tym samym czynnikiem co \(\displaystyle{ (x-q)}\) a trzecim \(\displaystyle{ (x-p)}\) który jest tym samym czynnikiem co \(\displaystyle{ (x-50)}\). Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ (x-8)=(x-q) \Rightarrow q=8}\) oraz:

\(\displaystyle{ (x-p)=(x-50) \Rightarrow p=50}\)

Tym samym:

\(\displaystyle{ W(x)=-(x-8)(x-2)(x-50)}\)

Jakby nie liczyć to:

\(\displaystyle{ W(49)=-41 \cdot 47 \cdot (-1)=1927}\)

[Anone1701]

Ja to zrobiłem metodą algebraiczną z czego wynika, że odpowiedź w książce jest faktycznie niepoprawna.
Równanie końcowe po uproszczeniu mi wyszło \(\displaystyle{ 23x + 800}\) czyli przy \(\displaystyle{ W(49)=1927}\)
I.
\(\displaystyle{ P(x)*(x-p) =
(- x^{2} + 10x -16)(x-p) =
-x^{3} + (p+10)x ^{2} - (10p+16)x+16p = W(x)}\)
II.
\(\displaystyle{ Q(x)*(x-q)=(x ^{2} +52x-100)(x-q)=-x ^{3} + (q+52)x ^{2} -(52q+100)x +100 q = W(x)}\)

Z twierdzenia równości wielomianów:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+10=q+52 \\ 16p=100q \end{cases} \begin{cases} p=q+42 \\ 8*(q+42)=50q \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 42q=336}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} q=8 \\ p=50 \end{cases}}\)

co za tym idzie:
\(\displaystyle{ W(x)= -x ^{3} + 60x ^{2} - 516x + 800}\)

po prostych uproszeniach algebraicznych dostajemy równanie
\(\displaystyle{ W(49) = 23x + 800}\)
\(\displaystyle{ W(49)=1927}\)