niewymierne pierwiastki wielomianu

[południowalolka]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} + 4x ^{3} +cx ^{2} +dx+1}\) c,d należą do zbioru liczb całkowitych, ma dwa różne pierwiastki wymierne.Znajdź niewymierne pierwiastki tego wielomianu

[piasek101]

Przyjmij, że te wymierne to 1 i (-1).

[natkoza]

hmmm... dużego wyboru na te pierwiastki wymierne to nie masz, bo z tw o pierwiastkach wymiernych wiesz zapewne, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\) to pierwiastek wymierny wielomianu to \(\displaystyle{ b}\) dzieli wyraz wolny a \(\displaystyle{ a}\) dzieli współczynnik przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ x}\)-a, wiec u nas pierwiastkami wymiernymi muszą być \(\displaystyle{ x=1,x=-1}\)
układając odpowiedni układ równań otrzymasz, ze \(\displaystyle{ c=-2,d=-4}\)
teraz wystarczy, ze podzielisz swój wielomian najpierw przez \(\displaystyle{ x-1}\) później przez \(\displaystyle{ x+1}\) i po tych dwóch czynnościach otrzymasz, ze \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+1)Q(x)}\) gdzie\(\displaystyle{ Q(x)}\)-wielomian stopnia 2 z którego pierwiastki policzysz już łatwo, dodam, ze pierwiastkami niewymiernymi są \(\displaystyle{ x=-\sqrt{5}-2,x=\sqrt{5}-2}\)