Zad. 1 Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
Zad. 2 Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-3x-2, x\in R.}\) Rozwiazać równanie \(\displaystyle{ f(f(x))=x.}\) Odp. \(\displaystyle{ x_1 = 2+ \sqrt{6} , x_2 = 2- \sqrt{6} , x_3 = 1+ \sqrt{5}, x_4 = 1- \sqrt{5}}\) dzekuje za rozwiazanie.
pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x
1.)
Czy wyraz wolny traktujemy również jako współczynnik tego wielomianu (jako współczynnik przy \(\displaystyle{ x^0}\))?
Czy wyraz wolny traktujemy również jako współczynnik tego wielomianu (jako współczynnik przy \(\displaystyle{ x^0}\))?
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 31 sty 2008, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 15 razy
pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x
Tak. Prosilbym o podanie sposobu wyznaczenia tego wielomianu
- lukki_173
- Użytkownik
- Posty: 913
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 218 razy
pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x
Witam. Mam chyba pomysł na to pierwsze zadanie.
\(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
I teraz przenieść na jedną stronę którykolwiek pierwiastek:
\(\displaystyle{ x_0 -\sqrt{3} =\sqrt{2}}\)
I podnieść stronami do kwadratu. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ x_0^{2} -2x\sqrt{3}+3 =2}\)
\(\displaystyle{ x_0^{2} +1 =2x\sqrt{3}}\)
I znowu stronami do kwadratu. Mamy:
\(\displaystyle{ x_0^{4} + 2x_0^{2} + 1 =12x_0^{2}}\)
\(\displaystyle{ x_0^{4} -10x_0^{2} + 1 =0}\)
Czyli wielomian będzie miał postać:
\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1 =0}\)
I jednym z pierwiastków tego wielomianu, jest:
\(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
Pozdrawiam
[ Dodano: 31 Października 2008, 21:18 ]
Nie jestem pewien ale te drugie zadanie to chyba ma być tak.
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-3x-2, x\in R.}\)
\(\displaystyle{ f(f(x))=x}\)
\(\displaystyle{ f(x^{2}-3x-2)=x}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3x-2) ^{2} -3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}\)
\(\displaystyle{ ((x^{2}-3x)-2) ^{2} -3x^{2}+9x+6-2-x=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3x) ^{2} -4(x^{2}-3x-2)+4 -3x^{2}+9x+4-x=0}\)
I po krótkich rachunkach:
\(\displaystyle{ x ^{4} -6x ^{3} +2 x^{2} +20x+8=0}\)
I rozwiązuje się jak zwykłe równanie wielomianowe.
\(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
I teraz przenieść na jedną stronę którykolwiek pierwiastek:
\(\displaystyle{ x_0 -\sqrt{3} =\sqrt{2}}\)
I podnieść stronami do kwadratu. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ x_0^{2} -2x\sqrt{3}+3 =2}\)
\(\displaystyle{ x_0^{2} +1 =2x\sqrt{3}}\)
I znowu stronami do kwadratu. Mamy:
\(\displaystyle{ x_0^{4} + 2x_0^{2} + 1 =12x_0^{2}}\)
\(\displaystyle{ x_0^{4} -10x_0^{2} + 1 =0}\)
Czyli wielomian będzie miał postać:
\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1 =0}\)
I jednym z pierwiastków tego wielomianu, jest:
\(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
Pozdrawiam
[ Dodano: 31 Października 2008, 21:18 ]
Nie jestem pewien ale te drugie zadanie to chyba ma być tak.
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-3x-2, x\in R.}\)
\(\displaystyle{ f(f(x))=x}\)
\(\displaystyle{ f(x^{2}-3x-2)=x}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3x-2) ^{2} -3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}\)
\(\displaystyle{ ((x^{2}-3x)-2) ^{2} -3x^{2}+9x+6-2-x=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3x) ^{2} -4(x^{2}-3x-2)+4 -3x^{2}+9x+4-x=0}\)
I po krótkich rachunkach:
\(\displaystyle{ x ^{4} -6x ^{3} +2 x^{2} +20x+8=0}\)
I rozwiązuje się jak zwykłe równanie wielomianowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x
lukki_173 pierwsze zadanie i część deugiego jest w porządku. Pytanie tylko, czy jest jakaś prostsza metoda rozwiązania tego równania niż standardową metodą rozwiązywania równań czwartego stopnia? Odp. brzmi: Nie ma.
- lukki_173
- Użytkownik
- Posty: 913
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 218 razy
pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x
bedbet wiem, że są wzory Viete'a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia, ale nie wiem czy to coś tutaj pomoże.