pierwiastek wielomianu i funkcja f(f(x))=x

[Gezzz]

Zad. 1 Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

Zad. 2 Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-3x-2, x\in R.}\) Rozwiazać równanie \(\displaystyle{ f(f(x))=x.}\) Odp. \(\displaystyle{ x_1 = 2+ \sqrt{6} , x_2 = 2- \sqrt{6} , x_3 = 1+ \sqrt{5}, x_4 = 1- \sqrt{5}}\) dzekuje za rozwiazanie.

[bedbet]

1.)

Czy wyraz wolny traktujemy również jako współczynnik tego wielomianu (jako współczynnik przy \(\displaystyle{ x^0}\))?

[Gezzz]

Tak. Prosilbym o podanie sposobu wyznaczenia tego wielomianu

[lukki_173]

Witam. Mam chyba pomysł na to pierwsze zadanie.

\(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

I teraz przenieść na jedną stronę którykolwiek pierwiastek:

\(\displaystyle{ x_0 -\sqrt{3} =\sqrt{2}}\)

I podnieść stronami do kwadratu. Otrzymamy:

\(\displaystyle{ x_0^{2} -2x\sqrt{3}+3 =2}\)
\(\displaystyle{ x_0^{2} +1 =2x\sqrt{3}}\)

I znowu stronami do kwadratu. Mamy:

\(\displaystyle{ x_0^{4} + 2x_0^{2} + 1 =12x_0^{2}}\)
\(\displaystyle{ x_0^{4} -10x_0^{2} + 1 =0}\)

Czyli wielomian będzie miał postać:

\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1 =0}\)

I jednym z pierwiastków tego wielomianu, jest:

\(\displaystyle{ x_0 =\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

Pozdrawiam

[ Dodano: 31 Października 2008, 21:18 ]
Nie jestem pewien ale te drugie zadanie to chyba ma być tak.

\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-3x-2, x\in R.}\)
\(\displaystyle{ f(f(x))=x}\)
\(\displaystyle{ f(x^{2}-3x-2)=x}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3x-2) ^{2} -3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}\)
\(\displaystyle{ ((x^{2}-3x)-2) ^{2} -3x^{2}+9x+6-2-x=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3x) ^{2} -4(x^{2}-3x-2)+4 -3x^{2}+9x+4-x=0}\)
I po krótkich rachunkach:

\(\displaystyle{ x ^{4} -6x ^{3} +2 x^{2} +20x+8=0}\)

I rozwiązuje się jak zwykłe równanie wielomianowe.

[bedbet]

lukki_173 pierwsze zadanie i część deugiego jest w porządku. Pytanie tylko, czy jest jakaś prostsza metoda rozwiązania tego równania niż standardową metodą rozwiązywania równań czwartego stopnia? Odp. brzmi: Nie ma.

[lukki_173]

bedbet wiem, że są wzory Viete'a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia, ale nie wiem czy to coś tutaj pomoże.