MATEMATYKA - Zbiór zadań do liceów i techników, klasa II, zakres rozszerzony i podstawowy
*3.92. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki \(\displaystyle{ {x}_1}\), \(\displaystyle{ {x}_2}\), \(\displaystyle{ {x}_3}\) równania \(\displaystyle{ {x}^3-3{x}^2-6x+m=0}\) spełniają warunki: \(\displaystyle{ {x}_2={x}_1 q}\), \(\displaystyle{ {x}_3 = {x}_1 {q}^2}\)? Wyznacz te pierwiastki.
Z góry dziękuję za okazaną pomoc.
Zadanie ze zbioru Kłaczkowa
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Zadanie ze zbioru Kłaczkowa
\(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x+m=0}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ x_1,\ x_1q,\ x_1q^2}\) stąd możemy przepisać równoważnie:
\(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_1q)(x-x_1q^2)=0}\)
\(\displaystyle{ x^3-x_1(q^2+q+1)x+x_1^2q(q^2+q+1)x-(x_1q)^3}\)
porównując dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=x_1(q^2+q+1), \quad -6=x_1^2q(q^2+q+1), \quad m=-(x_1q)^3}\)
z pierwszych dwóch wynika:
\(\displaystyle{ -2x_1(q^2+q+1)=x_1^2q(q^2+q+1)\quad\vert:x_1(q^2+q+1)}\)
\(\displaystyle{ -2=x_1q}\)
a my mamy \(\displaystyle{ m=-(x_1q)^3=-(-2)^3=8}\)
\(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_1q)(x-x_1q^2)=0}\)
\(\displaystyle{ x^3-x_1(q^2+q+1)x+x_1^2q(q^2+q+1)x-(x_1q)^3}\)
porównując dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=x_1(q^2+q+1), \quad -6=x_1^2q(q^2+q+1), \quad m=-(x_1q)^3}\)
z pierwszych dwóch wynika:
\(\displaystyle{ -2x_1(q^2+q+1)=x_1^2q(q^2+q+1)\quad\vert:x_1(q^2+q+1)}\)
\(\displaystyle{ -2=x_1q}\)
a my mamy \(\displaystyle{ m=-(x_1q)^3=-(-2)^3=8}\)