Podziel wieloman z resztą

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
tail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 26 kwie 2007, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 4 razy

Podziel wieloman z resztą

Post autor: tail »

Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{5}+x^{2}+x+1}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)


\(\displaystyle{ \frac{x^{5}+x^{2}+x+1}{x^{2}-1}=\frac{(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x^{4}-x^{3}+x^{2}+1)}{(x-1)}}\)

i co dalej, jak wyznaczyć resztę?
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

Podziel wieloman z resztą

Post autor: Wicio »

Czyli wiesz,że pierwiastkiem tego wielomianu w liczniku jest x=1
Więc podstawiasz go i wyliczasz resztę czyli:

\(\displaystyle{ x^4-x^3+x^2+1=1-1+1+1=2}\) więc reszta to 2
Awatar użytkownika
tail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 26 kwie 2007, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 4 razy

Podziel wieloman z resztą

Post autor: tail »

Hmm, w odpowiedzi mam, że reszta z dzielenia wynosi \(\displaystyle{ 2x+2}\). Nie wiem jak to pogodzić z tym co napisałeś?

Czyli pewnie trzeba wymnożyć przez \(\displaystyle{ x+1}\), dziwna to metoda ;]
Awatar użytkownika
RyHoO16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Podziel wieloman z resztą

Post autor: RyHoO16 »

Ponieważ Wicio źle zinterpretował zadanie to pokaże prawidłowe rozwiązanie:

\(\displaystyle{ W(x)=x^5+x^2+x+1}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)=x^2-1}\)
Zauważ teraz, że resztą jest wyrażenie postaci : \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Czyli nasz wielomian możemy przedstawić jako: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) F(x) + R(x)}\), gdzie
\(\displaystyle{ F(x)}\) jest innym wielomianem.

Łatwo też zauważyć, że \(\displaystyle{ W(-1)=0 \ W(1)=4}\)
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ R(-1)=0 \ R(1)=4}\)

Należy więc rozwiązać uk. równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=0 \\ a+b=4 \end{cases} \iff \begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases}}\)

Co podstawiając do \(\displaystyle{ R(x)=2x+2}\)
Awatar użytkownika
tail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 26 kwie 2007, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 4 razy

Podziel wieloman z resztą

Post autor: tail »

Ok, tylko jeszcze jedno. Skąd wiemy, że reszta jest liniowa w tym przypadku?
ODPOWIEDZ