Wielomian liniowy

[neworder]

Wyznacz takie P(x), że P(0)=0 i P(x) = 1/2 (P(x-1)+P(x+1). Wiadomo, że musi to być wielomian P(x)=ax, co wykazuje się jakoś tam przez sprzeczność itd.. Jak wykazać tą liniowość korzystając z faktu, że P(x) jest zawsze równe średniej arytmetycznej wartości od poprzedniego i następnego argumentu (rozumianej geomterycznie jako środek odcinka) i korzystając z ciągłości wielomianu (chodzi mi o formalny zapis)? Mam na myśli intuicję tego, ż bierzemy sobie dwa punkty, średnią arytmetyczną, a następnie posuwając się do przodu o nieskończenie małe odcinki rekonstruujemy całą prostą.

[Tomasz Rużycki]

Jak widać
\(\displaystyle{ P(2)=2P(1)}\),
\(\displaystyle{ P(3)=3P(1)}\),
\(\displaystyle{ P(4)=4P(1)}\),
...

Przypuszczamy, że \(\displaystyle{ P(n)=nP(1)}\), łatwo to udowodnić indukcyjnie. Dalej 'z górki'


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[neworder]

Tzn. jak "z górki"? Bo samo to, że P(n)=nP(1) to tylko dla naturalnych, ew. całkowitych, a trzeba to jeszcze przecież na rzeczywiste rozszerzyć (tzn. wypełnić przedziały (k, k+1) )

[Tomasz Rużycki]

Ile pierwiastków ma wielomian \(\displaystyle{ P(x)-xP(1)}\)?


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[g]

jest takie twierdzenie, ktore mowi, ze jak dwa wielomiany maja te same wartosci w nieskonczonej ilosci punktow, to sa rowne.

[Tomasz Rużycki]

g: To było pytanie do Newordera Wyciągasz sobie z tego prosty wniosek, że ten wielomian dwa posty wyżej jest zerowy, czyli \(\displaystyle{ P(x) = P(1) x}\), koniec


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[g]

a ja wcale nie mowie ze to byla na nie odpowiedz. tak mi sie powiedzialo po prostu odnosnie tego wypelniania dziur.