Dzielenie przez dwumian kwadratowy

[robakpiotr]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x^{4} + x^{3} - 3x^{2} - 4x - 4}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ R(x) = x^{3} - 5x +1}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ F(x) = x^{2} - 4}\)

[anibod]

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x)}\)
Zatem: \(\displaystyle{ W(x) =(x^4+x^3-3x^2-4x-4)\cdot Q(x) + x^3-5x+1}\)
Szukana reszta: \(\displaystyle{ R'(x)=ax+b}\)
Stąd: \(\displaystyle{ W(x)=F(x) Q'(x)+R'(x)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-4) Q'(x) +ax+b}\)
czyli: \(\displaystyle{ (x^4+x^3-3x^2-4x-4)\cdot Q(x) + x^3-5x+1 =(x^2-4) Q'(x) +ax+b}\)
Wstawiasz do tej równości miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ x^2-4}\), czyli x=2 i x=-2
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 Q(2)-1=0\cdot Q'(2)+2a+b \\ 0 Q(-2)+3=0\cdotQ'(-2)-2a+b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1=2a+b\\ 3=-2a+b \end{cases} \begin{cases} a=-1 \\ b=1 \end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ R'(x) = -x+1}\)