równania i nierówności kwadratowe z parametrem [ vieta ]

[123456m]

Witam, mam następujący problem...

Otóż jest zadanie:

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa pierwiastki o rożnych znakach:

I teraz mam przykład np. taki:

\(\displaystyle{ x^{2}-(2m-3)x+2m+5=0}\)

I teraz trzeba ustalić układ warunków, dla tego przykładu układ warunków to:

\(\displaystyle{ 1. a \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2. \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ 3. x_{1} \cdot x_{2} > 0}\)

Wiem skąd się bierze warunek 1 i 2 ale nie mam pojęcia jak dojść do warunku trzeciego lub jak jest to też do czwartego, wiem tylko tyle że po znakach się do tego dochodzi, ale też nie jestem pewien po których (wydaje mi się ze znaki które stoją przy wyrażeniach b i c)...



Czy mógłby ktoś mi to wytłumaczyć na niżej podanych przykładach:




Przykład 1:

Dla jakich wartości parametru m danie równanie ma dwa rożne pierwiastki:

\(\displaystyle{ x^{2} + (m+1)x + m+3 = 0}\)

układ warunków:

\(\displaystyle{ 1. a \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2. \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ 3. x_{1} \cdot x_{2} > 0}\)

\(\displaystyle{ 4. x_{1} + x_{2} > 0}\)





Przykład 2:

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa pierwiastki o rożnych znakach:

\(\displaystyle{ x^{2}-(2m-3)x+2m+5=0}\)

układ warunków :

\(\displaystyle{ 1. a \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2. \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ 3. x_{1} \cdot x_{2} > 0}\)





Przykład 3:

Dla jakich wartości parametru równanie ma pierwiastki o jednakowych znakach:

\(\displaystyle{ x^{2}+ \sqrt{5}mx+ m^{2}+m+3 = 0}\)

układ warunków:

\(\displaystyle{ 1. a \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2. \Delta \geqslant 0}\)

\(\displaystyle{ 3. x_{1} \cdot x_{2} > 0}\)

[Artist]

Po pierwsze to co masz na samym początku to nieprawda. chodzi mi o ten trzeci warunek. Zauważ, że jak masz dwa RÓŻNE znaki to wychodzi Ci liczba ujemna:
np. \(\displaystyle{ 5*(-2)=-10}\), czli ich iloczyn musi być mniejszy niż 0.

PRZYKŁAD 1.
Wystarczy warunek \(\displaystyle{ \Delta qslant 0}\) otrzymasz równanie kwadratowe, którego część ponadosią 0X jest rozwiązaniem. (Będzie to suma dwóch przedziałow).

PRZYKŁAD 2.
Że a nie jest równe zero tochyba od razu widać.
Delta większa od zera.
A iloczyn znowu mniejszy od zera bo rówżne znaki mają być.

\(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}0}\)

PRZYKŁAD 3.
Dobrze.

[123456m]

Dzieki za wpis, ale chodziło mi głównie o wytłumaczenie skąd się biorą te warunki, bo te przykłady miałem już rozwiązane... dlatego podałem je aby było łatwiej wytłumaczyć

mogę podać jeden z przykładów które muszę rozwiązać... ale głównie mi chodzi o to żeby ktoś mi powiedział jak to rozwiązać a nie rozwiązanie...



np.

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa pierwiastki o różnych znakach.

\(\displaystyle{ x^{2}+(3k-2)x+k+2=0}\)

I teraz jakie będą warunki dla tego przykładu i dlaczego?

\(\displaystyle{ m \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

I jakie jeszcze?

[xanowron]

np.

Dla jakich wartości parametru równanie ma dwa pierwiastki o różnych znakach.

\(\displaystyle{ x^{2}+(3k-2)x+k+2=0}\)

I teraz jakie będą warunki dla tego przykładu i dlaczego?

\(\displaystyle{ m \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

I jakie jeszcze?

Myślisz zbyt szablonowo, nie ma w tym przykładzie żadnego \(\displaystyle{ m}\) Warunki to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}x_{2}0}\) bo muszą być dwa pierwiastki o różnych znakach (jeśli nawet potraktować jeden pierwiastek podwójny jako dwa, to \(\displaystyle{ \Delta=0}\) nie załapie sie bo będą o tych samych znakach)

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}}\)

[123456m]

mam ostatnie pytanie, kiedy dochodzi warunek 4?

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} > 0}\)

[xanowron]

mam ostatnie pytanie, kiedy dochodzi warunek 4?

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} > 0}\)

Jak masz np. dwa rozwiązania dodatnie, musi być wtedy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}x_{2}>0 \\ x_{1} + x_{2} > 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0}\) Wiadomo: dwa rozwiązania

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0}\) Iloczyn dodatni wtedy są tych samych znaków, jednak mogą być też dwa ujemne a my dodatnich szukamy więc wprowadzamy właśnie \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} > 0}\) bo suma dwóch ujemnych nie spełni tego warunku więc zostaną nam tylko dodatnie

[123456m]

ok, a które znaki bierze się pod uwagę? Czy wzmiankę w poleceniu ? bo np. znalazłem w notatkach zadania które np. są te same znaki a warunek jest \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} < 0}\)

nie mam pojęcia ...

np. jest polecenie

Dla jakich wartości parametru m dane równanie ma dwa różne pierwiastki:

i jest przykład:


\(\displaystyle{ x^{2} + (m+1)x + m + 3 = 0}\)


Warunek to:


\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} > 0}\)

No i na tym przykładzie mógłby ktoś powiedzieć po czym się stwierdza jakie są te znaki, jeżeli po poleceniu to jest sprzeczność... jeżeli po znakach to po których?

[piasek101]

Dla jakich wartości parametru m dane równanie ma dwa różne pierwiastki:
\(\displaystyle{ x^{2} + (m+1)x + m + 3 = 0}\)

Zdubluję (bo ,,tam" Ci pisałem) :
jedynym warunkiem (dla tego zadania) jest \(\displaystyle{ \Delta>0}\).