pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
kawafis44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 474
Rejestracja: 22 paź 2007, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 416 razy
Pomógł: 2 razy

pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Post autor: kawafis44 »

Witam! Mam problem z następującymi zadaniami:

1) Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + \frac{5}{4} x^2 + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}}\). Próbowałem przy pomocy tabelki Hornera, ale coś nie chciało wyjść .

2) Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu
a) \(\displaystyle{ P(x) = x^{100} + 4x^2 + 1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1}\)
b) \(\displaystyle{ P(x) = 2x^{2001} - 3x^{117} + 5x + 2}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1}\)

Dzięki z góry za pomoc, pozdro
Awatar użytkownika
hellsing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 191
Rejestracja: 30 mar 2006, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kątowni
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 16 razy

pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Post autor: hellsing »

Pierwsze to metoda pq.
Drugiego na szybko nie wymyśle...
kawafis44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 474
Rejestracja: 22 paź 2007, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 416 razy
Pomógł: 2 razy

pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Post autor: kawafis44 »

na czym polega ta metoda pq ??
... q=metoda+pq&start=10&sa=N rezultaty korzystania z google niewystarczające
pozdro!!
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Post autor: xanowron »

kawafis44 pisze: 2) Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu
a) \(\displaystyle{ P(x) = x^{100} + 4x^2 + 1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1}\)
b) \(\displaystyle{ P(x) = 2x^{2001} - 3x^{117} + 5x + 2}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1}\)
a) \(\displaystyle{ P(x) = x^{100} + 4x^2 + 1}\) \(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1}\)
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x)Z(x)+R(x)}\)
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ Q(x) = x^2 - 1=(x-1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ x^{100} + 4x^2 + 1=(x-1)(x+1) Z(x) +ax+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Q(-1)=0 \\ Q(1)=0 \end{cases}}\)
Podstawiamy więc za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) i Z(x) znika nam:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6=-a+b \\ 6=a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a=0 b=6}\)

\(\displaystyle{ R(x)=6}\)

b) analogicznie
Fredi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 6 kwie 2008, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 16 razy

pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Post autor: Fredi »

kawafis44 pisze:na czym polega ta metoda pq ??
jeśli pierwiastkiem wielomianu jest liczba wymierna to można ją przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\)
gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(\displaystyle{ a_{0}}\) , a q jest dzielnikiem współczynnika \(\displaystyle{ a_{n}}\) przy najwyższej potędze
pozdrawiam: Fredi
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

pierwiastki wymierne wielomianu, reszta z dzielenia

Post autor: xanowron »

kawafis44 pisze: 1) Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + \frac{5}{4} x^2 + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}}\). Próbowałem przy pomocy tabelki Hornera, ale coś nie chciało wyjść .
\(\displaystyle{ x^3 + \frac{5}{4} x^2 + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}=0 \qquad | *4}\)
\(\displaystyle{ 4x^3 + 5x^2 + 9 x + 2=0}\)

Jeżeli ma pierwiastki wymierne to mogą być równe: \(\displaystyle{ 1,-1,2,-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{4}}\)

Podstawiamy kolejno za \(\displaystyle{ x}\) i wychodzi że jedynym pierwiastkiem wymiernym jest \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{4}}\)
ODPOWIEDZ