wykaż, że wielomian można przedstawić jako iloczyn czynników

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
jurek007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 maja 2008, o 12:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

wykaż, że wielomian można przedstawić jako iloczyn czynników

Post autor: jurek007 »

wykaż, że wielomian trzeciego stopnia\(\displaystyle{ w(x) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx +d}\) można przedstawić jako iloczyn czynników liniowych: \(\displaystyle{ w(x) = a(x- x_{1})(x- x _{2})(x-x _{3})}\) to zachodzą związki \(\displaystyle{ x_{1} + x _{2} + x _{3} = - \frac{b}{a},
x _{1} * x _{2} * x _{3} = - \frac{d}{a} , x _{1} * x _{2} + x _{1} * x _{3} + x _{2} * x _{3} = \frac{c}{a}}\)
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

wykaż, że wielomian można przedstawić jako iloczyn czynników

Post autor: xanowron »

\(\displaystyle{ ax ^{3} + bx ^{2} + cx +d = a(x- x_{1})(x- x _{2})(x-x _{3})}\)

Teraz lewą stronę przemnażamy, same nawiasy \(\displaystyle{ a}\) zostawiamy na początku
\(\displaystyle{ a(x- x_{1})(x- x _{2})(x-x _{3})=a(x^{3}-x_{1}x^{2}-x_{2}x^{2}-x_{3}x^{2}+x_{1}x_{2}x+x_{1}x_{3}x+x_{2}x_{3}x-x_{1}x_{2}x_{3})}\)

\(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x^{3}-x_{1}x^{2}-x_{2}x^{2}-x_{3}x^{2}+x_{1}x_{2}x+x_{1}x_{3}x+x_{2}x_{3}x-x_{1}x_{2}x_{3})}\)

Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ a}\) (które z założenia jest różne od \(\displaystyle{ 0}\), bo ma to być równanie trzeciego stopnia.

\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=x^{3}-x_{1}x^{2}-x_{2}x^{2}-x_{3}x^{2}+x_{1}x_{2}x+x_{1}x_{3}x+x_{2}x_{3}x-x_{1}x_{2}x_{3}}\)

\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=x^{3}-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-x_{1}x_{2}x_{3}}\)

Teraz porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ x}\) wykorzystując tw. o równości wielomianów na podstawie równości współczynników.

\(\displaystyle{ \frac{b}{a}=-(x_{1}+x_{2}+x_{3})}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{a}=(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{a}=-x_{1}x_{2}x_{3}}\)

Czyli mamy to co mialiśmy wykazać
Ostatnio zmieniony 25 paź 2008, o 12:46 przez xanowron, łącznie zmieniany 1 raz.
ODPOWIEDZ