1.
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^{3}-px+2=0}\), to liczba ab jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^{3}+px^{2}-4=0}\).
2.
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ 2x^{3}-px^{2}+4=0}\), to liczba \(\displaystyle{ ab}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^{3}-px-4=0}\).
Wystarczy rozwiązanie pierwszego zadania chyba, bo drugie analogicznie.
W zasadzie zrobiłem je sam ale nie jestem przekonany do własnego sposobu, bo zrobiłem to pod warunkiem, że pierwsze równanie ma 3 pierwiastki, a teoretycznie może mieć tylko 2. Jeśli ktoś byłby w stanie zrobić to ogólniej niż ja to byłbym bardzo wdzięczny.
Wielomiany z parametrem
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Wielomiany z parametrem
Z drugiego równania: \(\displaystyle{ x^3+px^2-4=0 \iff p=\frac{4-x^3}{x^2}}\)
Podstawiam do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \\ x^3-\frac{4-x^3}{x^2}x+2=0 \iff x^4+x^3+2x-4=0 \iff \\ \iff (x^4-4)+x(x^2+2)=0 \iff (x^2+2)(x^2-2)+x(x^2+2)=0 \iff \\ \iff (x^2+2)(x^2+x-2)=0 \iff (x^2+2)(x-1)(x+2)=0}\)
Pierwiastkami 1 równania są a=1 oraz b=-2
\(\displaystyle{ p=\frac{4-(1)^3}{1^2}=3}\)
Rozwiązuję 2 równanie:
\(\displaystyle{ \\ x^3+3x^2-4=0 \iff x^3+2x^2+x^2-4=0 \iff \\ \iff (x^3+2x^2)+(x^2-4)=0\iff x^2(x+2)+(x+2)(x-2)=0 \iff \\ \iff (x+2)(x^2+x-2)=0 \iff (x+2)(x-1)(x+2)=0 \iff (x-1)(x+2)^2=0}\)
Pierwiastkami \(\displaystyle{ x_1=1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=-2}\)
\(\displaystyle{ x_2=-2=1\cdot (-2) = ab}\) czyli pierwiastek tego równania to iloczyn pierwiastków równania pierwszego.[
Podstawiam do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \\ x^3-\frac{4-x^3}{x^2}x+2=0 \iff x^4+x^3+2x-4=0 \iff \\ \iff (x^4-4)+x(x^2+2)=0 \iff (x^2+2)(x^2-2)+x(x^2+2)=0 \iff \\ \iff (x^2+2)(x^2+x-2)=0 \iff (x^2+2)(x-1)(x+2)=0}\)
Pierwiastkami 1 równania są a=1 oraz b=-2
\(\displaystyle{ p=\frac{4-(1)^3}{1^2}=3}\)
Rozwiązuję 2 równanie:
\(\displaystyle{ \\ x^3+3x^2-4=0 \iff x^3+2x^2+x^2-4=0 \iff \\ \iff (x^3+2x^2)+(x^2-4)=0\iff x^2(x+2)+(x+2)(x-2)=0 \iff \\ \iff (x+2)(x^2+x-2)=0 \iff (x+2)(x-1)(x+2)=0 \iff (x-1)(x+2)^2=0}\)
Pierwiastkami \(\displaystyle{ x_1=1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=-2}\)
\(\displaystyle{ x_2=-2=1\cdot (-2) = ab}\) czyli pierwiastek tego równania to iloczyn pierwiastków równania pierwszego.[
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
xanowron
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Wielomiany z parametrem
Ok, chyba mam. Nie doczytałem wcześniej, dzięki.
Zapisałem pierwsze równanie w postaci iloczynowej, dostałem wartości dla wzorów Viete'a, potem drugie też tak zapisałem (korzystając z tego że jeśli dla a i b jest spełnione to też dla a i c oraz b i c, więc pierwiastki drugiego to ab, bc, ac), no i z drugiego też dostałem wartości dla wzorów Viete'a i po porównaniu z tymi z pierwszego wyszły wszędzie tożsamości - czy to wystarcza do rozwiązania tego zadania?
I skąd się bierze to że jeśli dla a i b jest spełnione to dla a i c oraz dla a i b?
Zapisałem pierwsze równanie w postaci iloczynowej, dostałem wartości dla wzorów Viete'a, potem drugie też tak zapisałem (korzystając z tego że jeśli dla a i b jest spełnione to też dla a i c oraz b i c, więc pierwiastki drugiego to ab, bc, ac), no i z drugiego też dostałem wartości dla wzorów Viete'a i po porównaniu z tymi z pierwszego wyszły wszędzie tożsamości - czy to wystarcza do rozwiązania tego zadania?
I skąd się bierze to że jeśli dla a i b jest spełnione to dla a i c oraz dla a i b?