Reszta z dzielenia wielomianów

[KaMyLuS]

Z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x^{4}+x^{3}-x-1}\) otrzymano resztę \(\displaystyle{ R(x) = x^{3}+x^{2}+x+1}\). Znajdz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^{2}-1}\).

No to z warunków zadania mamy, że istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ H(x)}\), że:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{4}+x^3-x-1) H(x)+(x^{3}+x^{2}+x+1)}\)
Co po wykonaniu przekształceń doprowadzi nas do takiej postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{2}-1)(x^{2}+x+1) H(x)+(x^{3}+x^{2}+x+1)}\)
No i w tym momencie kończy się moja wiedza na temat co dalej. Zajrzalem więc do odpowiedzi, tam też jest wykonane to przekształcenie, a potem jest napisane że z tej ostatniej równości wynika, że znalezienie reszty z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ Q(x)}\) sprowadza się do znalezienia reszty z dzielenia \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+1}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\). Ale zupełnie nie rozumiem dlaczego właśnie tak (tzn dlaczego sie sprowadza do znalezienia tej drugiej reszty)... Mógłby mi to ktoś wyjaśnić?

[robin5hood]

bo jak podzielicz \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^2-1}\) to otzrzymasz
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)H(x)+[(x^{3}+x^{2}+x+1) x^2-1)]}\)

[KaMyLuS]

Ano fakt... Tylko jeszcze jedna wątpliwośc się nasunęła. Mianowicie, po podzieleniu tego wielomianu otrzymamy rzeczywiście
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)H(x)+[(x^{3}+x^{2}+x+1) : (x^2-1)]}\)
zatem
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)H(x)}\)

[robin5hood]

jak to , przeciez jak podzielisz W(x) przez \(\displaystyle{ x^2-1}\) to liczysz z całości już
Z podzielenia tego \(\displaystyle{ (x^{2}-1)(x^{2}+x+1) H(x)}\) reszta wynosi 0 zxatem wystarczy podzielić tę druga część

[KaMyLuS]

Chyba jednak nie zbyt dokładnie powiedziałem o co mi chodzi xD Więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{2}-1)(x^{2}+x+1) H(x)+(x^{3}+x^{2}+x+1)}\) dziele tego gada przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\)
Zostaje mi:
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)H(x)+[(x^{3}+x^{2}+x+1) : x^2-1)]}\) co oznacza zatem, że:
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)H(x)}\) jest wynikiem z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\)
a to:
\(\displaystyle{ [(x^{3}+x^{2}+x+1) : (x^2-1)]}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\)
Więc musimy teraz podzielić \(\displaystyle{ [(x^{3}+x^{2}+x+1) : (x^2-1)]}\). I moja wąpliwośc jest taka, że czemu z tego dzielenia bierzemy tylko resztę a nie całość (czyli równoważnie czemu w ostatecznym wyniku rzesztą z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\) będzie tylko \(\displaystyle{ (2x+2)}\), a nie cały wynik dzielenia (wynik+reszta) czyli \(\displaystyle{ (x+1)(x^{2}-1)+(2x+2)}\)?

[robin5hood]

przecież w treści zadania szukasz reszty!!

[KaMyLuS]

Tak, reszty szukam, ale patrz:
Skoro po podzieleniu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\) zostaje nam:
\(\displaystyle{ (x^2+x+1)H(x)+[(x^{3}+x^{2}+x+1) : (x^2-1)]}\) to oznacza to że resztą z dzielenia
\(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-1)}\) jest całe wyrażenie
\(\displaystyle{ [(x^{3}+x^{2}+x+1) : (x^2-1)]}\)
a nie reszta z tego wyrażenia.

[robin5hood]

może ktoś inny to wyjaśni bo ja nie mam już siły