Zadania z wielomianami - różnej maści

[Madziula1976]

Moi Drodzy,

Dostałam do wyliczenia poniższe zadania i nie wiem zupełnie jak je rozwiązać.
Proszę o ich rozwiązanie - ewentualnie o jakieś wskazówki.

Serdecznie Wszystkich pozdrawiam

Zad1.
Wykonaj działania i przedstaw otrzymany wielomian w jak najprostszej postaci:
(2(\(\displaystyle{ x^{3}}\) - 2x + 4) - (x - 3) (\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 5x - 4)) (3 - 2x)

Zad2.
Rozwiąż równania:
a) \(\displaystyle{ x^{3}}\) - 7\(\displaystyle{ x^{2}}\) - 4x + 28 = 0
b) (\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 3x) (\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 4) (\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 4x + 4) = 0

Zad3.
Rozwiąż nierówności:
a) -2\(\displaystyle{ x^{4}}\) - 4\(\displaystyle{ x^{3}}\) + 6\(\displaystyle{ x^{2}}\) leqslant 0
b) \(\displaystyle{ x^{3}}\) - 3\(\displaystyle{ x^{2}}\) - 4x + 12 > 0

Zad4.
Dla jakich wartości a i b liczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ x^{3}}\) + \(\displaystyle{ ax^{2}}\) + bx - 3 ? Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Zad5.
Wykaż, że liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x) = \(\displaystyle{ x^{4}}\) - 7\(\displaystyle{ x^{3}}\) + 17\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 4 .

Zad6.
Dla jakich wartości a i b wielomian \(\displaystyle{ x^{3}}\) + 2\(\displaystyle{ x^{2}}\) - 5x + a
jest podzielny przez trójmian
\(\displaystyle{ x^{2}}\) - x + b ?


Z góry Wszystkim dziękuję

[Mariusz M]

Zadanie 1 wskazówki
W pierwszym zadaniu należy wymnożyc wielomian i dodac
(Trzeba także zachowac kolejnośc wykonywamnia działan)
Aby wymnożyc dwa wielomiany należy wymmnożyc każdy
jednomian (liczba i litera podniesiona do potegi) a następnie sumujemy

Przy mnożeniu jednomianu przez wielomian należy wymnożyc każdy jednomian wielomianu
z jednomianem i dodac je do siebie
Przy mnożeniu jednomianu przez jednomian (jezeli litery są takie same W powyższych
zadanach zachodzi ten warunek)
mnożymy współczynniki a wykładniki dodajemy


Zadanie 2 wskazówki
Równanie trzeciego stopnia trzeba zredukowac do rownania kwadratowego
Aby tego dokonac trzeba zastosowac dwa podstawienia y=x+a2/3a3
oraz y=u+v
Po tych podstawieniach otrzymamy układ równań który sprowadzamy do
wzorów Viete'a dla równania kwadratowego podnosząc stronami drugie równanie do trzeciej potęgi

Korzystamy z wzorów Viete'a i układamy równanie kwadratowe
Rozwiązujemy równanie kwadratowe i bierzemy pierwiastki trzeciego stopnia tak
aby spełniony był układ równań (ten który powstał po podstawieniach)

Niech e1 i e2 będą zespolonymi pierwastkami trzeciego stopnia z jedynki
np e1=exp(2*i*Pi/3), e2=exp(4*i*Pi/3)

Pierwiastki równania trzeciego stopnia to

y1=u+v
y2=e1u+e2v
y3=e2u+e1v


2b

Wielomian już jest częsciowo rozłozony na czynniki
rozkladamy dalej wielomian rozwiązując trzy równania kwadratowe
Aby rozwiązac rownanie kwadratowe wystarczy np podstawic y=x+a1/2a2
Dalsze kroki już są proste

3

3a
Wyciągnąc x^2 przed nawias i rozwiązac równanie kwadratowe
naszkicowa wykres i z niego odczytac wynik


3b
Znaleźc pierwiastki metodą jaką pokazałem następnie naszkicowac
wykres i z niego odczytac rozwiązanie


4
W(3)=0
W(-1)=0
Sprowadza się to do rozwiązania układu równań liniowych

3a+b=-8
a-b=4
Aby znaleźc pozostały pierwiastek należy wymnożyc dwumiany (x-3) i (x+1)
Następnie skorzystac z twierdzenia Bezout i podzielic wielomian W(x) przez równanie kwadratowe

5

Skorzystac z twierdzenia Bezout i podzelic przez (x-2)^2
następnie sprawdzi czy reszta jest równa zero

6
Należy podzielic wielomiany i resztę przyrówna do zera a powinniśmy otrzymac

b+2=0
a=3b
stąd

b=-2
a=-6

[Madziula1976]

Nadal jest to dla mnie czarną magią, (mało co rozumiem ze wskazówek - jestem totalnym laikiem), ale mimo wszystko bardzo dziękuję
pozdrawiam serdecznie

[Mariusz M]

Nadal jest to dla mnie czarną magią, (mało co rozumiem ze wskazówek - jestem totalnym laikiem), ale mimo wszystko bardzo dziękuję
pozdrawiam serdecznie

No to trzeba gruntownie powtórzyc wiadomości z liceum
Ja gdybym miał trochę więcej czasu (musiałbym rozwiązac to w zeszycie sprawdzic to
zapisac z użyciem tex)
to mógłbym rozwiązac te zadania

W sobotę mógłbym je rozwiązac teraz tylko wskazówki

[anibod]

Zadanie 4
\(\displaystyle{ W(x) = x^{3}+ax^{2}+bx-3}\)
Z korzystając z def. pierwiastka wielomianu otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3)=0\\ W(-1)=0 \end{cases} \begin{cases} 9a+3b+24=0 \\ a-b-4=0 \end{cases} \begin{cases} b=a-4 \\ 9a+3(a-4)+24=0 \end{cases} \begin{cases} a=-1\\ b=-5 \end{cases}}\)
Zatem wielomian W(x) ma postać;
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-x^{2}-5x-3}\)
Aby znaleźć trzeci pierwiastek wystarczy wielomian ten podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ (x-3)(x+1) = x^{2}-2x-3}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^{3}-x^{2}-5x-3) & : & (x^{2}-2x-3) = x+1 \\
\underline{-x^{3} + 2x^{2}+3x} & & \\
\qquad x^{2} -2x-3 & & \\
\qquad \ \underline{-x^{2} + 2x+3} & &\\
\qquad \qquad \quad R = 0 & &
\end{array}}\)
stąt x=-1 trzeci pierwiastek wielomianu

[ Dodano: 8 Października 2008, 15:21 ]
Zadanie 2
a) \(\displaystyle{ x^{3}-7x^{2}-4x+28=0}\)
Grupujesz wyrazy wilomianu, a później wyłączasz wspólne czynniki przed nawias
\(\displaystyle{ (x^{3}-7x^{2})-(4x-28)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-7)-4(x-7)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-7)(x^{2}-4)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-7)(x-2)(x+2) =0}\)
stąd \(\displaystyle{ x=7 x=2 x=-2}\)

[Madziula1976]

Droga koleżanko Anibodko
Dziękuję za pomoc, ale wkradł się błąd
(x+3)(x-1) nie jest równy x^2 - 2x -3,
lecz x^2 + 2x -3
i niestety wielomian nie da się teraz podzielić......

[piasek101]

Droga koleżanko Anibodko
Dziękuję za pomoc, ale wkradł się błąd
(x+3)(x-1) nie jest równy x^2 - 2x -3,
lecz x^2 + 2x -3
i niestety wielomian nie da się teraz podzielić......

To tylko literówka, trzeba było prześledzić dzielenie (oprócz tego + wszystko ok).

[anibod]

Błąd naprawiony (wystarczyło zamienić + z -), z góry przepraszam... pozdrawiam

[Madziula1976]

Kochana Anibodko,

\(\displaystyle{ (x - 3) (x + 1) = {x}^{2} - 2x -3}\)

i wszystko gra i pasi;))
Jeszcze raz dziękuję
Buziaki
Magda