jak rozwiązać wielomian

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mieczyk100
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 19 kwie 2007, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bartoszyce
Podziękował: 5 razy

jak rozwiązać wielomian

Post autor: mieczyk100 »

Witam!!
Jak rozwiązać ten wielomian.

\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-112=0}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

jak rozwiązać wielomian

Post autor: piasek101 »

mieczyk100 pisze: Jak rozwiązać ten wielomian.
\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-112=0}\)
Na przyszłość - wielomianów się nie rozwiązuje.
To jest równanie.

Co do rozwiązania - raczej wzory Cardano (może ktoś zobaczy ładniejszy sposób).
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

jak rozwiązać wielomian

Post autor: xiikzodz »

Jesli to ma pierwiastek calkowity, to jest on dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 112=16\cdot 7}\).
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

jak rozwiązać wielomian

Post autor: piasek101 »

xiikzodz pisze:Jesli to ma pierwiastek calkowity, to jest on dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 112=16\cdot 7}\).
W tym problem, że nie ma.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

jak rozwiązać wielomian

Post autor: JankoS »

mieczyk100 pisze:Witam!!
Jak rozwiązać ten wielomian.

\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-112=0}\)
Pierwiastkami wymiernymi tego równania mogą być tylko liczby całkowite. Proste sprawdzenie pokazuje, że takowych nie ma.
\(\displaystyle{ (*) \ x^3-x-112=x^3+px+q.}\)
Przyjmuję, że
\(\displaystyle{ x=u+v x^3=3uvx+u^3+v^3 \\(**) \ x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0}\)
Z (*) i (**)
\(\displaystyle{ (***) \ 3uv=1, \ i \ u^3+v^3=112.}\)
Więc x = u + v spełnia równanie (**) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) spełnia (*).
Z (***) wyznaczam jeden dodatni pierwiastek (jeżeli takowych nie ma równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Tutaj po podstawieniu \(\displaystyle{ v=\frac{1}{3u}}\) otrzymuję \(\displaystyle{ u=\frac{112+ \sqrt{112^2-4 27}}{54}=\frac{56- \sqrt{3109}}{27}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ v=\frac{81}{56- \sqrt{3109}}. \ x=u+v.}\)
Innych pierwiastków wymiernych nie ma, co łatwo sprawdzić badając monotoniczność funkcji.
ODPOWIEDZ