Witam!!
Jak rozwiązać ten wielomian.
\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-112=0}\)
jak rozwiązać wielomian
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 19 kwie 2007, o 16:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bartoszyce
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
jak rozwiązać wielomian
Na przyszłość - wielomianów się nie rozwiązuje.mieczyk100 pisze: Jak rozwiązać ten wielomian.
\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-112=0}\)
To jest równanie.
Co do rozwiązania - raczej wzory Cardano (może ktoś zobaczy ładniejszy sposób).
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
jak rozwiązać wielomian
W tym problem, że nie ma.xiikzodz pisze:Jesli to ma pierwiastek calkowity, to jest on dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 112=16\cdot 7}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
jak rozwiązać wielomian
Pierwiastkami wymiernymi tego równania mogą być tylko liczby całkowite. Proste sprawdzenie pokazuje, że takowych nie ma.mieczyk100 pisze:Witam!!
Jak rozwiązać ten wielomian.
\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-112=0}\)
\(\displaystyle{ (*) \ x^3-x-112=x^3+px+q.}\)
Przyjmuję, że
\(\displaystyle{ x=u+v x^3=3uvx+u^3+v^3 \\(**) \ x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0}\)
Z (*) i (**)
\(\displaystyle{ (***) \ 3uv=1, \ i \ u^3+v^3=112.}\)
Więc x = u + v spełnia równanie (**) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) spełnia (*).
Z (***) wyznaczam jeden dodatni pierwiastek (jeżeli takowych nie ma równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych).
Tutaj po podstawieniu \(\displaystyle{ v=\frac{1}{3u}}\) otrzymuję \(\displaystyle{ u=\frac{112+ \sqrt{112^2-4 27}}{54}=\frac{56- \sqrt{3109}}{27}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ v=\frac{81}{56- \sqrt{3109}}. \ x=u+v.}\)
Innych pierwiastków wymiernych nie ma, co łatwo sprawdzić badając monotoniczność funkcji.