Wyznacz współczynnik...

[Namek]

Witam,
mam problem z zadaniem:

Wyznacz współczynnik m, n, p, q tak, aby wielomian P(x) i Q(x) były równe
\(\displaystyle{ P(x)=x^{4}+2x^{3}+mx^{2}+nx+1}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=(x^{2}+px+q)^{2}}\)

Mam również zadanie:

Dla jakich wartości "a" wielomian F(x) jest podzielny przez dwumian P(x)
\(\displaystyle{ F(x)=x^{4}-(a-1)(a+1)x^{3}+(a+1)^{2}x^{2}-3(a+1)x-7}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x-1}\)

po mojemu, to w tym drugim zadaniu wystarczy podstawić "1" pod "x" w F(x) i wyjdzie nam a=7 - dobre rozumowanie?


Oraz:

Oblicz:
\(\displaystyle{ (2b+1)^{5}}\)=

i

\(\displaystyle{ \frac{1}{1000} +8x^{3}=}\)

Proszę o pomoc.
Z góry dziękuję za poświęcony czas.

[Mersenne]

Zad. 1

\(\displaystyle{ P(x)=x^{4}+2x^{3}+mx^{2}+nx+1}\)

\(\displaystyle{ Q(x)=(x^{2}+px+q)^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x^{2}+px+q)^{2}=(x^{2}+px+q)(x^{2}+px+q)=}\)

\(\displaystyle{ =x^{4}+px^{3}+qx^{2}+px^{3}+p^{2}x^{2}+pqx+qx^{2}+pqx+q^{2}=}\)

\(\displaystyle{ =x^{4}+2px^{3}+(2q+p^{2})x^{2}+2pqx+q^{2}}\)

\(\displaystyle{ P(x)=Q(x) \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x^{4}+2x^{3}+mx^{2}+nx+1=x^{4}+2px^{3}+(2q+p^{2})x^{2}+2pqx+q^{2} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \begin{cases} 2p=2 \\ 2q+p^{2}=m\\ 2pq=n\\ q^{2}=1 \end{cases} \iff \begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}\\ q=\frac{n}{2}\\ q=-1 q=1 \end{cases}\iff \begin{cases} m=3 \\ n=2\\ p=1\\ q=1 \end{cases} \begin{cases} m=-1 \\ n=-2\\ p=1\\ q=-1 \end{cases}}\)

[Namek]

Bardzo dziękuję Mersenne, już zrozumiałem zad. 1 !

[Mersenne]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1000}+8x^{3}=\left(\frac{1}{10}\right)^{3}+(2x)^{3}=\left(\frac{1}{10}+2x\right) ft(\frac{1}{100}-\frac{1}{5}x+4x^{2}\right)=2\left(x+\frac{1}{20}\right) ft(4x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =8\left(x+\frac{1}{20}\right) ft(x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{400}\right)}\)