Wartość bezwzględna

[TDK]

\(\displaystyle{ \left| x^{3} + x \right| - x + 3 > 0}\)

[elcia]

przyrównujesz do zera to co jest w wartości bezwzględnej, zaznaczasz na osi i liczysz z definicji

[ Dodano: 5 Października 2008, 13:42 ]
Jaki wynik ma wyjść?

[Mersenne]

\(\displaystyle{ |x^{3}+x|-x+3>0}\)

zał.: \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\)

\(\displaystyle{ |x(x^{2}+1)|-x+3>0}\)

\(\displaystyle{ |x|\cdot |x^{2}+1|-x+3>0}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{2}+1>0}\), to możemy zapisać:

\(\displaystyle{ |x|\cdot (x^{2}+1)-x+3>0}\).

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

\(\displaystyle{ |x|= \begin{cases} x &\mbox{dla}\ x\geq 0 \\ -x &\mbox{dla}\ x<0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 1^\circ\ x\in(-\infty,0)\\
-x\cdot (x^{2}+1)-x+3>0\iff -x^{3}-x-x+3>0 \iff -x^{3}-2x+3>0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff -x^{2}(x-1)-x(x-1)-3(x-1)>0 \iff (x-1)(-x^{2}-x-3)>0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff -(x-1)(x^{2}+x+3)>0 \iff -(x-1)>0 \iff x-1<0 \iff x<1\iff x\in(-\infty,1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\in(-\infty,0) \\ x\in(-\infty,1) \end{cases} \iff x\in(-\infty,0)}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ\ x\in\langle 0,+\infty)\\
x\cdot (x^{2}+1)-x+3>0\iff x^{3}+x-x+3>0 \iff x^{3}+3>0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x^{3}+(\sqrt[3]{3})^{3}>0 \iff (x+\sqrt[3]{3})(x^{2}-\sqrt[3]{3}x+\sqrt[3]{9})>0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x+\sqrt[3]{3}>0 \iff x>-\sqrt[3]{3} \iff x\in (-\sqrt[3]{3};+\infty)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\in\langle 0,\infty) \\ x\in (-\sqrt[3]{3};+\infty) \end{cases} \iff x\in\langle 0,+\infty)}\)

Bierzemy sumę rozwiązań obu przypadków:

\(\displaystyle{ (-\infty;0) \cup \langle 0;+\infty)=\mathbb R}\)

Odp.: Dana nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\).