Równania z parametrem

[Stary]

Witam,
Prosze o pomoc, robię te zadania już sporo czasu i nie mogę wpaść na poprawne odpowiedzi ;/ Niestety w mojej książce (Kłaczkowa, Kurczab i Świda) nie ma tego typu zadań ze wskazówkami jak je zrobić a w tym roku piszę mature wiec trzeba wszystko rozumieć. Pod spodem zamieszczam zadanka i proszę aby wytłumaczyć na "chłopski" rozum skąd te warunki oraz dlaczego takie a nie inne. Więc przechodze do zadań:

Ad.1
Znajdź te wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla których równanie \(\displaystyle{ x^{3}+8x^2+px=0}\) ma trzy różne rozwiązania.
W tym zadaniu postępuję tak:
\(\displaystyle{ x(x^{2}+8x+p)=0}\) czyli dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy jedno rozwiązanie, więc pozostają nam jeszcze 2, czyli z nawiasu liczę \(\displaystyle{ \Delta}\) i wychodzi \(\displaystyle{ p \in (- \infty , 16)}\) w odpowiedziach jest właśnie ten przedział ale z wyłączeniem \(\displaystyle{ 0}\)

Ad.2
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x^{4}-6x^{2}+m=0}\) ma 4 różne rozwiązania.
W tym dokonuję podstawienia za \(\displaystyle{ x^{2}=t}\), czyli \(\displaystyle{ t \geqslant 0}\) Potem liczę \(\displaystyle{ \Delta>0}\) robię to tak intuicyjnie a reszte nie mam pomysłu

Ad.3
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\) jest dwu elementowy.
W tym zadaniu zakładam \(\displaystyle{ \Delta t qslant 0}\) a resztę nie ma szans

Proszę o pomoc
Pozdrawiam

[robin5hood]

ad1
dla p=0 ma tylko rówanie dwa rozwiazania bo wtedy \(\displaystyle{ x^2(x+8)=0}\)
x=8 lub x=0
ad2
musi mieć dwa rozwiązania dodatnie, czyli jeszcze
\(\displaystyle{ t_1+t_2>0}\)
\(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2>0}\)
ad3
musi mieć pierwiastki różnych znaków
czyli
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ t_1 t_2}\)

[damiano14]

2. Rówanie ma mieć 4 rozwiązania więc : \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) to masz warunek że w ogóle bedą pierwiastki i teraz jeszcze warunki żeby te pierwiastki było dodatnie ( jeżeli równanie z t będzie miało 2 dodatnie pierwiastki to równanie z x będzie miało 4 )
czyli : \(\displaystyle{ \begin{cases} t_1t_2 >0 \\ t_1 + t_2 >0 \end{cases}}\)
sorry za składnie

Krótki kurs LaTeX-a - zapisywanie wyrażeń matematycznych
frej

[Mersenne]

Zad. 3

\(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\)

Niech \(\displaystyle{ x^{2}=t, t\geq0}\). Stąd mamy:

\(\displaystyle{ t^{2}+mt-m=0}\).

Zbiór rozwiązań równania wyjściowego \(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\) jest dwuelementowy, gdy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ t^{2}+mt-m=0}\) ma jedno rozwiązanie dodatnie lub dwa różne rozwiązania, z których jedno jest dodatnie, zaś drugie ujemne.

\(\displaystyle{ 1^{\circ} \quad \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4\cdot (-m)=m^{2}+4m}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0 \iff m^{2}+4m=0 \iff m(m+4)=0 \iff m=-4 \vee m=0}\)

\(\displaystyle{ t_{0}=-\frac{1}{2}m}\)

\(\displaystyle{ t_{0}>0 \iff -\frac{1}{2}m>0 \iff m}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m\in (-\infty;0) \\ m=-4 \vee m=0 \end{cases} \iff m=-4}\)

\(\displaystyle{ 2^{\circ} \quad \Delta>0}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0 \iff m^{2}+4m>0 \iff m(m+4)>0 \iff m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty)}\)

Równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, z których jeden jest dodatni, zaś drugi ujemny, zatem:

\(\displaystyle{ t_{1} \cdot t_{2}}\).

Ze wzoru Viete'a na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego mamy:

\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}=-m}\).

\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}0 \iff m\in (0;+\infty)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty) \\ m\in (0;+\infty) \end{cases} \iff m\in (0;+\infty)}\)

Bierzemy sumę rozwiązań obu przypadków:

\(\displaystyle{ m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\).

Odp.: \(\displaystyle{ m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\)

[robin5hood]

Mersenne nie rozwiazuj całych zadań za innych, niech troche pomyślą

[Mersenne]

Zad. 1

\(\displaystyle{ x^{3}+8x^{2}+px=0}\)

\(\displaystyle{ x^{3}+8x^{2}+px=0 \iff x(x^{2}+8x+p)=0 \iff x=0 \vee x^{2}+8x+p=0}\)

Równanie \(\displaystyle{ x^{3}+8x^{2}+px=0}\) ma mieć trzy różne rozwiązania. Jednym z pierwiastków danego równania jest \(\displaystyle{ x=0}\), czyli równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}+8x+p=0}\) musi mieć dwa różne pierwiastki inne niż zero, zatem muszą być spełnione warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_{1}\cdot x_{2} 0 \end{cases}}\)