parametr a

[elcia]

Znajdź wartości parametru a, dla których równanie \(\displaystyle{ ax ^{4} -x ^{2} +1=0}\) ma cztery pierwiastki.

[robin5hood]

Na początek zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t \ \ , \ \ t>0}\). Teraz nasze równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ at^2-t+1=0}\)

Warunki:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_{1}+t_{2}>0 \\ t_{1} \cdot t_{2} >0 \end{cases}}\)

[elcia]

Na początek zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t \ \ , \ \ t>0}\). Teraz nasze równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ at^2-t+1=0}\)

Warunki:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t_{1}+t_{2}>0 \\ t_{1} \cdot t_{2} >0 \end{cases}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=(-1) ^{2} -4 \cdot a \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1-4a}\)
\(\displaystyle{ 1-4a>0}\)
\(\displaystyle{ a< \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{b}{a} = \frac{1}{a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} >0}\)
\(\displaystyle{ a>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{c}{a}}\)
będzie tak samo jak suma a>0

czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} >a>0}\)

Dobrze?