Wykaż, że wielomiany
\(\displaystyle{ 1)W(x)=x ^{4}+4x ^{3}+5x ^{2}-2x+3}\)
\(\displaystyle{ 2)H(x)=x ^{4}+2x ^{2}-6x+5}\)
nie posiadają pierwiastków.
Wykaż, że wielomiany nie posiadają pierwiastków
-
raphel
- Użytkownik
- Posty: 657
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 12:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Czewa/Wrocław
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 138 razy
Wykaż, że wielomiany nie posiadają pierwiastków
1.\(\displaystyle{ W(1) 0 w(-1) 0 W(3) 0 W(-3) 0}\)
2.\(\displaystyle{ W(1) 0 w(-1) 0 W(5) 0 W(-5) 0}\)
2.\(\displaystyle{ W(1) 0 w(-1) 0 W(5) 0 W(-5) 0}\)
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Wykaż, że wielomiany nie posiadają pierwiastków
1) \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+5x^{2}-2x+3}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}+5x^{2}-2x+3=x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+x^{2}-2x+3=}\)
\(\displaystyle{ =x^{2}(x^{2}+4x+4)+(x^{2}-2x+3)=x^{2}(x+2)^{2}+(x^{2}-2x+3)}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad [x(x+2)]^{2}\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{2}-2x+3>0}\).
Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest liczbą dodatnią, zatem \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{4}+4x^{3}+5x^{2}-2x+3\neq 0}\), czyli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie posiada pierwiastków.
2) \(\displaystyle{ H(x)=x^{4}+2x^{2}-6x+5}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{2}-6x+5=x^{4}+(2x^{2}-6x+5)}\)
Zauważ, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{4}\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad 2x^{2}-6x+5>0}\).
Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest liczbą dodatnią, zatem \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{4}+2x^{2}-6x+5\neq 0}\), czyli wielomian \(\displaystyle{ H(x)}\) nie posiada pierwiastków.
@_raphel wykazałeś jedynie, że dane wielomiany nie posiadają pierwiastków wymiernych.
\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}+5x^{2}-2x+3=x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+x^{2}-2x+3=}\)
\(\displaystyle{ =x^{2}(x^{2}+4x+4)+(x^{2}-2x+3)=x^{2}(x+2)^{2}+(x^{2}-2x+3)}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad [x(x+2)]^{2}\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{2}-2x+3>0}\).
Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest liczbą dodatnią, zatem \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{4}+4x^{3}+5x^{2}-2x+3\neq 0}\), czyli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie posiada pierwiastków.
2) \(\displaystyle{ H(x)=x^{4}+2x^{2}-6x+5}\)
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{2}-6x+5=x^{4}+(2x^{2}-6x+5)}\)
Zauważ, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{4}\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad 2x^{2}-6x+5>0}\).
Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest liczbą dodatnią, zatem \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{4}+2x^{2}-6x+5\neq 0}\), czyli wielomian \(\displaystyle{ H(x)}\) nie posiada pierwiastków.
@_raphel wykazałeś jedynie, że dane wielomiany nie posiadają pierwiastków wymiernych.