Równania wielomianowe - Zadania

[maciek212]

a) \(\displaystyle{ (2x-1)^2=100}\)
b) \(\displaystyle{ (5-x)^2=-8}\)
c) \(\displaystyle{ (5-2x)^2=(3+x)^2}\)
d) \(\displaystyle{ (x^2-9)^3=(2x^2-10)^3}\)

[xanowron]

a) (2x-1)^2=100
b) (5-x)^2=-8
c) (5-2x)^2=(3+x)^2
d) (x^2-9)^3=(2x^2-10)^3

a)
\(\displaystyle{ (2x-1)^{2}=100}\)
\(\displaystyle{ (2x-1)^{2}-100=0}\)
\(\displaystyle{ (2x-1)^{2}-10^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ [(2x-1)+10][(2x-1)-10]=0}\)
\(\displaystyle{ (2x+9)(2x-11)=0}\)
\(\displaystyle{ x=-4,5 x=5,5}\)

b)
\(\displaystyle{ (5-x)^{2}=-8}\)

Równanie sprzeczne bo kwadrat jakiejkolwiek liczby jest zawsze większy bądź równy zero (dla liczb rzeczywistych)

[szymek12]

Podaję sposób:
a) \(\displaystyle{ 4x ^{2}-4x+1=100}\)
\(\displaystyle{ 4x ^{2}-4x-99=0}\)
obliczasz deltę i: \(\displaystyle{ x _{1}=-4 \frac{1}{2}, x _{2}=5 \frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ x ^{2} qslant 0}\), gdzie \(\displaystyle{ x R}\), zatem otrzymujemy sprzeczność
Reszta podobnie.

[Mersenne]

a) \(\displaystyle{ (2x-1)^{2}=100}\)

Wobec nieujemności obu stron dane równanie możemy obustronnie spierwiastkować:

\(\displaystyle{ \sqrt{(2x-1)^{2}}=\sqrt{100}}\).

\(\displaystyle{ \sqrt{(2x-1)^{2}}=\sqrt{100} \iff |2x-1|=10 \iff 2x-1=-10 2x-1=10 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff 2x=-9 2x=11 \iff x=-4\frac{1}{2} x=5\frac{1}{2}}\)

b) \(\displaystyle{ (5-x)^{2}=-8}\)- sprzeczność, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny

c) \(\displaystyle{ (5-2x)^{2}=(3+x)^{2}}\)

Wobec nieujemności obu stron dane równanie możemy obustronnie spierwiastkować:

\(\displaystyle{ \sqrt{(5-2x)^{2}}=\sqrt{(3+x)^{2}}}\).

\(\displaystyle{ \sqrt{(5-2x)^{2}}=\sqrt{(3+x)^{2}} \iff |5-2x|=|3+x| \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff 5-2x=3+x 5-2x=-3-x \iff -3x=-2 -x=-8 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x=\frac{2}{3} x=8}\)

d) \(\displaystyle{ (x^{2}-9)^{3}=(2x^{2}-10)^{3}}\)

\(\displaystyle{ (x^{2}-9)^{3}=(2x^{2}-10)^{3} \iff \sqrt[3]{(x^{2}-9)^{3}}=\sqrt[3]{(2x^{2}-10)^{3}} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x^{2}-9=2x^{2}-10 \iff -x^{2}+1=0 \iff (1-x)(1+x)=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff -(x-1)(x+1)=0 \iff x=-1 x=1}\)