Wielokrotność wielomianu

[przemo940]

Znajdzi pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności.

A) \(\displaystyle{ x^{5}(x-3)(x+11) ^{2}(2x+4) ^{5}}\)
B) \(\displaystyle{ (x^{2}-3x+2)(-2x ^{2}+3x+2)(-2x ^{2}+x+1)}\)
C) \(\displaystyle{ ( x^{5}-4x ^{3}+8x ^{2}-32)(x ^{3}-2x ^{2})}\)

[mmoonniiaa]

a)
\(\displaystyle{ x=0}\) - pierwiastek 5-krotny
\(\displaystyle{ x=3}\) - pierwiastek 1-krotny
\(\displaystyle{ x=-11}\) - pierwiastek 2-krotny
\(\displaystyle{ x=-2}\) - pierwiastek 5-krotny

[ Dodano: 2 Października 2008, 19:44 ]
b) należy najpierw rozłożyć wielomian na czynniki liniowe:
\(\displaystyle{ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\\
-2x^2+3x+2=-2(x-2)(x+ \frac{1}{2} )\\
-2x^2+x+1=-2(x-1)(x+ \frac{1}{2} )}\)
Czyli nasz wielomian przyjmie postać: \(\displaystyle{ -2 (-2)(x-1)^2(x-2)^2(x+ \frac{1}{2} )^2=4(x-1)^2(x-2)^2(x+ \frac{1}{2} )^2}\)
Zatem pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ x=1}\) - pierwiastek 2-krotny
\(\displaystyle{ x=2}\) - pierwiastek 2-krotny
\(\displaystyle{ x= - \frac{1}{2}}\) - pierwiastek 2-krotny

[przemo940]

C) ?

[xanowron]

c) Również składniki trzeba rozłożyć:

\(\displaystyle{ x^{5}-4x^{3}+8x^{2}-32=(x-2)(x^{4}+2x^{3}+8x+16)=(x-2)[x^{3}(x+2)+8(x+2)]=(x-2)[(x+2)(x^{3}+8)]=(x-2)(x+2)(x+2)(x^{2}-2x+4)=(x-2)(x+2)^{2}(x^{2}-2x+4)}\)
To po pierwszym znaku równości z tw. o pierwiastkach całkowitych wielomianu + Horner, potem wyciąganie przed nawias i potem wzór \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}\)

\(\displaystyle{ x^{3}-2x^{2}=x^{2}(x-2)}\)

Więc wielomian ma postać:

\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)^{2}(x^{2}-2x+4)x^{2}(x-2)=x^{2}(x+2)^{2}(x-2)^{2}(x^{2}-2x+4)}\)

Pierwiastki:
\(\displaystyle{ x=0}\) dwukrotny
\(\displaystyle{ x=-2}\) dwukrotny
\(\displaystyle{ x=2}\) dwukrotny