wielomiany z parametrem

[damiano14]

Witajcie!
Otóż mam problem z dwoma zadaniami. Tzn niby wiem jak to zrobić ale odpowiedzi mi się nie zgadzają...

1. Dla jakich wartości parametru m równanie x^5 + (1-2m)x^3 + (m^2 - 1)x = 0 ma : a) pięć pierwiastków b) dokładnie trzy pierwiastki c)tylko jeden pierwiastek
// więc zrobiłem tak : x przed nawias potem t= x^2 itp i tym sposobem rozwiązałem punkt a) pozostałe robię tą samą metodą i nie wychodzi mi dokładnie tak jak w odpowiedziach ... Jeśli potraficie rozwiązać b i c to bardzo proszę


2.Wyznacz te wartości parametru p dla których równanie x^4 + (p + 1 )x^2 + p^2 - 1 = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

//niby wiem że trzeba podstawić t za x^2 potem delta = 0 t0> 0 ale nie zgadza się to z odpowiedziami....

Będę bardzo wdzięczny za odpowiedzi

[xanowron]

W drugim zadaniu oprócz delty równej zero musisz wziąść pod uwagę jedno \(\displaystyle{ t}\) dodatnie i jedno ujemne, co po podstawieniu to \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) da też dwa pierwiastki równania pierwotnego.

W pierwszym:

\(\displaystyle{ x^{5}+(1-2m)x^{3}+(m^{2}-1)x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{4}+(1-2m)x^{2}+m^{2}-1)=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=t}\)

Jako, że \(\displaystyle{ a)}\) masz zrobione to:

\(\displaystyle{ b)}\)

Więc to \(\displaystyle{ x}\) przed nawiasem ma być zero czyli \(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}+(1-2m)t+m^{2}-1=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = 0 \\ \frac{-b}{2a}>0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta>0 \\ t_{1} t_{2}0 \\ t_{1}+t_{2}}\)

[damiano14]

dlaczego w drugim jedno t ma być dodatnie a drugie ujemne ? Jak delta będzie równa 0 i t0 >0 to równanie z t będzie miało jedno rozwiązanie a z x dwa rozwiązania ... więc wszystko by się zgadzało

[ Dodano: 1 Października 2008, 19:56 ]
a jeśli chodzi o ten b) przykład: ja właśnie też robiłem tak jak TY... wyliczyłem teraz to co napisałeś i mi wyszło m : ( - niesk ; 1/2) a w odpowiedziach jest (-1; 1 > u {5/4} heh

[xanowron]

Ma być delta równa zero LUB większa i jeden pierwiastek ujemny drugi dodatni, wtedy z tego pierwszego warunku otrzymujesz coś i z drugiego też bo skoro jeden ujemny to \(\displaystyle{ x^{2}}\) nie może być liczbą ujemną więc mamy sprzeczność a dla drugiego dodatniego dostajemy kolejne dwa rozwiązania niekoniecznie pokrywające się z pierwszym warunkiem

Co do punktu b) to mi jeszcze inaczej wychodzi, pewnie gdzieś się machnąłem ale nie mam teraz głowy żeby znaleźć błąd więc może niech jakaś osoba trzecia tu się wypowie i mnie poprawi

[damiano14]

czy naprawdę nikt nie potrafi rozwiązać tych dwóch zadań ?...:/
Chciałbym wiedzieć gdzie zrobiłem błąd...

[anibod]

Dość często w tych podręcznikowych odpowiedziach pojawiają się błędy

[damiano14]

to mnie teraz pocieszyłeś

w dwóch przypadkach pod rząd się błąd pojawił ??...

[JankoS]

Witajcie!
1. Dla jakich wartości parametru m równanie x^5 + (1-2m)x^3 + (m^2 - 1)x = 0 ma : a) pięć pierwiastków b) dokładnie trzy pierwiastki c)tylko jeden pierwiastek
2.Wyznacz te wartości parametru p dla których równanie x^4 + (p + 1 )x^2 + p^2 - 1 = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

1.
\(\displaystyle{ x^5 + (1-2m)x^3 + (m^2 - 1)x = x(x^4 + (1-2m)x^2 + m^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow \\x=0 \ lub \ (*) \ x^4 + (1-2m)x^2 + m^2 - 1=0.}\)
Do równania (*) podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2 \geqslant 0}\) i mam
\(\displaystyle{ (**) \ t^2+(1-2m)+m^2-1=0,}\) w którym
\(\displaystyle{ \Delta=5-4m, \ t_1+t_2=2m-1, \ t_1 \cdot t_2=(m+1)(m-1)}\) jeżeli suma i iloczyn istnieją.

a) Równanie ma 5 różnych pierwiastków, wtedy gdy (*) ma cztery różne niezerowe pierwiastki,
czyli gdy (**) ma dwa różne dodatnie pierwiastki, co zachodzi gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5-4m>0\\2m-1>0\\(m+1)(m-1)>0\end{cases} \begin{cases} m\frac{1}{2}\\m1\end{cases} 1 -1 m=\frac{5}{4}.}\)
Z (A), (B) po "dodanou" \(\displaystyle{ -1\frac{5}{4}.}\)
Zważywszy na porę, proszę traktować to podejrzliwie.

2. W wielkim skrócie,
"Odpowiednie" równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek dodatni lub dwa pierwiastki przeciwnych znaków.
Delta równa 0 i \(\displaystyle{ -\frac{p+1}{2}>0}\) lub delta > 0 i \(\displaystyle{ t_1 t_2}\)