Wielomian stopnia trzeciego z parametrem

[juudolf]

Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ W(x)=x+m}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x)}\) jest wielomianem stopnia trzeciego, ma dla każdej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) co najmniej jeden pierwistek.

[Sylwek]

Niech \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\) oraz niech: \(\displaystyle{ G(x)=W(x)-x-m=ax^3+bx^2+(c-1)x+d-m}\), mamy: \(\displaystyle{ (\lim_{x \to -\infty} G(x)) = - (\lim_{x \to +\infty} G(x))}\) (która jest +, a która -nieskończoność, to zależy tylko od znaku liczby \(\displaystyle{ a}\)), zatem z własności Darboux (gdyż G(x) jako wielomian jest funkcją ciągłą) \(\displaystyle{ G(x)}\) posiada pierwiastek rzeczywisty, tzn. istnieje taki x, że: \(\displaystyle{ G(x)=0 \iff W(x)-x-m=0 \iff W(x)=x+m}\), co należało udowodnić.