Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
micro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 127.0.0.1
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu...

Post autor: micro »

Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x -1 jest rowna 2. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x+1 jest rowna 1, Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian x^2-1
Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu...

Post autor: Anathemed »

Reszta z dzielenia przez x+1 wynosi 1, czyli:
w(x) = (x+1)R(x) + 1
Stąd wynika, że: w(-1) = 0*R(x) + 1 = 1
Reszta z dzielenia przez x-1 wynosi 2, czyli:
w(x) = (x-1)Q(x) + 2, stąd mamy: w(1) = 2

Oznaczmy resztę z dzielenia w(x) przez wielomian \(\displaystyle{ x^2 - 1}\) jako: ax + b
Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ w(x) = (x^2-1)T(x) + ax + b = (x+1)(x-1)T(x) + ax + b}\)
Mamy:
1 = w(-1) = 0*T(x) + a*(-1) + b
2 = w(1) = 0*T(x) + a*1 + b
Teraz, aby wyznaczyć resztę wystarczy rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ 1 = -a +b}\)
\(\displaystyle{ 2 = a + b}\)
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu...

Post autor: Mersenne »

Resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-p)}\) możemy obliczyć korzystając z równości \(\displaystyle{ R=W(p)}\).

U nas mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=2 \\ W(-1)=1 \end{cases}}\)

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-1)\cdot Q(x)+R(x)=(x-1)(x+1)\cdot Q(x)+R(x)}\).

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) dzielimy przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-1}\), zatem reszta z dzielenia będzie postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=R(1) \\ W(-1)=R(-1) \end{cases} \iff \begin{cases} a+b=2 \\ -a+b=1 \end{cases} \iff \begin{cases} 2b=3 \\ a=2-b \end{cases}\iff \begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=1\frac{1}{2} \end{cases}}\)

Zatem \(\displaystyle{ R(x)=\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}}\)

Odp.: \(\displaystyle{ R(x)=\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}}\)
ODPOWIEDZ