Dla jakiego k liczba
\(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{3} } \sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{3} }} \sqrt{2+ \sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{3} }}} \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{3} }}}}\)
jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 3x^4+5x+2k=0}\)
równanie z parmetrem
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
równanie z parmetrem
\(\displaystyle{ \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt{3})}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1}\)
Pytamy dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 3x^{4}+5x+2k=0}\). Aby liczba \(\displaystyle{ 1}\) była rozwiązaniem równania, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 3\cdot 1^{4}+5\cdot 1+2k=0 \iff 3+5+2k=0 \iff 8+2k=0 \iff 2k=-8 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff k=-4}\)
Odp.: \(\displaystyle{ k=-4}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt{3})}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1}\)
Pytamy dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 3x^{4}+5x+2k=0}\). Aby liczba \(\displaystyle{ 1}\) była rozwiązaniem równania, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 3\cdot 1^{4}+5\cdot 1+2k=0 \iff 3+5+2k=0 \iff 8+2k=0 \iff 2k=-8 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff k=-4}\)
Odp.: \(\displaystyle{ k=-4}\)