wyznaczanie wielomianów

[juudolf]

Wykonane zostało dzielenie wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez pewien trójmian kwadratowy. Zgodnie z wykonanym dzieleniem wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) można zapisać w postaci: \(\displaystyle{ W(x)=( x^{2} -x-2)(x^{2}+x+1)+R(x)}\) , gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) jest resztą z dzielenia.
Resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez każdy z dwumianów liniowych \(\displaystyle{ x+1}\) i \(\displaystyle{ x-2}\) są równe. Wyznacz wielomian \(\displaystyle{ R(x)}\) wiedząc, że dla zmiennej \(\displaystyle{ x=1}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przyjmuje wartość równą \(\displaystyle{ -2}\)

[Mersenne]

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-x-2)(x^{2}+x+1)+R(x)=(x-2)(x+1)(x^{2}+x+1)+R(x)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=R(-1) \\ W(2)=R(2) \end{cases}}\)

Z treści zadania wiemy, iż zachodzi: \(\displaystyle{ R(-1)=R(2)}\).

Ponadto wiemy, że zachodzi:

\(\displaystyle{ W(1)=-2}\).

\(\displaystyle{ W(1)=-6+R(1)}\)

\(\displaystyle{ -6+R(1)=-2 \iff R(1)=4}\)

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) dzielimy przez trójmian kwadratowy, zatem reszta z dzielenia będzie co najwyżej stopnia pierwszego, tj. \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\).

Należy rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} R(1)=4 \\ R(-1)=R(2) \end{cases} \iff \begin{cases} a+b=4 \\ -a+b=2a+b \end{cases}}\)

Rozwiąż powyższy układ, wyliczysz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i podstaw do \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\).

[wb]

\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

\(\displaystyle{ W(-1)=W(2) -a+b=2a+b \\ \\ W(1)=-2 -2=(-2) 3+a+b}\)

Rozwiązuj układ:\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=2a+b \\ -2=(-2) 3+a+b \end{cases}}\)
otrzymasz rozwiązanie.