wartość t

[elcia]

1. Ile wynosi wartość t wielomianów \(\displaystyle{ w(x)=x ^{3} -3x ^{2} -x+3}\) i \(\displaystyle{ P(x)=2x ^{3} -5x ^{2} +k}\) jeżeli są podzielne przez ten sam dwumian?

Mają wyjść 3 rozwiązania. Wpadłam tylko na jedno x=3.



2. Reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 2x ^{4} -x ^{3} -4x ^{2} -7x-3}\) i \(\displaystyle{ 2x ^{4} -x ^{3}-x ^{2} +13x-10}\) przez dwumian x+t są identyczne, znajdź liczbę k.


Prosiłabym o jakiś pomysł, niekoniecznie o ich rozwiązanie.

[Mersenne]

Zad. 1

\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3=x^{2}(x-3)-(x-3)=(x-3)(x^{2}-1)=(x-3)(x-1)(x+1)}\)

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez następujące dwumiany: \(\displaystyle{ x-3}\), \(\displaystyle{ x-1}\), \(\displaystyle{ x+1}\).

\(\displaystyle{ P(x)=2x^{3}-5x^{2}+k}\)

Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem stopnia trzeciego, zatem ma co najwyżej trzy pierwiastki.

Wiemy, że wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\) są podzielne przez ten sam dwumian, zatem będzie zachodziło:

\(\displaystyle{ P(3)=0 P(1)=0 P(-1)=0 \iff 9+k=0 -3+k=0 -7+k=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff k=-9 k=3 k=7}\)

Odp.: \(\displaystyle{ k=-9 k=3 k=7}\)

[elcia]

macie może pomysł na 2 zad?

[Grzegorz t]

2.

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x^4-x^3-4x^2-7x-3=P(x)(x+k)+R(x)\\2x^4-x^3-x^2+13x-10=Q(x)(x+k)+R(x)\end{cases}}\) odejmując stronami drugie równanie od pierwszego otrzymamy
\(\displaystyle{ -3x^2-20x+7=(P(x)-Q(x))(x+k)}\)
\(\displaystyle{ P(x)-Q(x)=ax+b (ax+b)(x+k)=-3x^2-20x+7 \begin{cases}a=-3 \\ ak+b=-20\\bk=7\end{cases}}\) stąd \(\displaystyle{ \begin{cases}a=-3\\-3k+b=-20\\bk=7\end{cases}}\)

[elcia]

skąd się wzięło to: ax+b?

[Grzegorz t]

a jak policzysz wartość \(\displaystyle{ k}\)? Różnica wielomianów \(\displaystyle{ P}\)i \(\displaystyle{ Q}\) musi mieć postać \(\displaystyle{ ax+b}\), bo po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ x+k}\)dają nam równanie kwadratowe, z układu, który podałem wyliczysz sobie tylko \(\displaystyle{ k}\)

[elcia]

ale skąd bierze się te ax+b? nie rozumiem jak z różnicy może takie coś powstać, możesz mi to wnikliwiej wytłumaczyć?

[Grzegorz t]

Ludzie kochani trzymajcie mnie

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x^4-x^3-4x^2-7x-3=P(x)(x+k)+R(x)\\2x^4-x^3-x^2+13x-10=Q(x)(x+k)+R(x)\end{cases}}\) odejmując stronami drugie równanie od pierwszego otrzymamy
\(\displaystyle{ -3x^2-20x+7=(P(x)-Q(x))(x+k)}\) tutaj zastosowałem proste przekształcenie otrzymując taką postać i teraz prawa strona musi być trójmianem kwadratowy, bo lewa jest przecież, nie? I teraz różnica \(\displaystyle{ (P(x)-Q(x))}\) musi być postaci \(\displaystyle{ ax+b}\), bo po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (x+k)}\) da nam trójmian kwadratowy, czyli
\(\displaystyle{ (ax+b)(x+k)=-3x^2-20x+7}\)
\(\displaystyle{ ax^2+axk+bx+bk=-3x^2-20x+7}\)
\(\displaystyle{ ax^2+(ak+b)x+bk=-3x^2-20x+7}\)
stąd \(\displaystyle{ \begin{cases}a=-3\\ak+b=-20\\bk=7\end{cases}}\)
teraz rozumiesz ? /
pozdrawiam...

[elcia]

tak, wiem o co Ci chodzi tylko nie wiedziałam dlaczego ax+b ma być, wystarczyło powiedzieć, że jest to sprowadzenie do takiej postaci, która jest po lewej, dzięki