Witam!!!
Mam problem z dwoma zadaniami z wielomianów. Bede bardzo wdzięczny za pomoc.
1. Suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych jest równa 216. Jakie to liczby??
2. Doprowadź do najprostszej postaci \(\displaystyle{ \frac{ (a+1)^{2} }{4(a ^{2}-1) }- \frac{1}{a-1}}\)
Suma sześcianów i dop. do najprostszej postaci
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Suma sześcianów i dop. do najprostszej postaci
1. Więc te liczby to \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\), podnieś teraz każdą z nich do sześcianu, wymnóż, dodaj, przyrównaj do \(\displaystyle{ 216}\) i rozwiąż równanie.
2. Sprowadź do wspólnego mianownika, wymnóż wszystko co jest w liczniku, doprowadź do postaci iloczynowej, i skróć co się da.
2. Sprowadź do wspólnego mianownika, wymnóż wszystko co jest w liczniku, doprowadź do postaci iloczynowej, i skróć co się da.
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Suma sześcianów i dop. do najprostszej postaci
Zad. 1
\(\displaystyle{ n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}=216}\)
zał.: \(\displaystyle{ n\in C}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+n^{3}+3n^{2}+3n+1+n^{3}+6n^{2}+12n+8=216}\)
\(\displaystyle{ 3n^{3}+9n^{2}+15n-207=0}\)
\(\displaystyle{ 3(n^{3}+3n^{2}+5n-69)=0}\)
\(\displaystyle{ 3(n-3)(n^{2}+6n+23)=0 \iff n=3}\)- spełnia założenie
Zatem szukane liczby to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n=3 \\ n+1=4\\ n+2=5 \end{cases}}\)
Odp.: Szukanymi liczbami są \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\).
Zad. 2
\(\displaystyle{ \frac{(a+1)^{2}}{4(a^{2}-1)}-\frac{1}{a-1}}\)
założenie: \(\displaystyle{ a\neq -1 a\neq 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+1)^{2}}{4(a^{2}-1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)^{2}}{4(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)^{2}-4(a+1)}{4(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)[(a+1)-4]}{4(a-1)(a+1)}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(a+1)(a-3)}{4(a-1)(a+1)}=\frac{a-3}{4(a-1)}}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}=216}\)
zał.: \(\displaystyle{ n\in C}\)
\(\displaystyle{ n^{3}+n^{3}+3n^{2}+3n+1+n^{3}+6n^{2}+12n+8=216}\)
\(\displaystyle{ 3n^{3}+9n^{2}+15n-207=0}\)
\(\displaystyle{ 3(n^{3}+3n^{2}+5n-69)=0}\)
\(\displaystyle{ 3(n-3)(n^{2}+6n+23)=0 \iff n=3}\)- spełnia założenie
Zatem szukane liczby to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n=3 \\ n+1=4\\ n+2=5 \end{cases}}\)
Odp.: Szukanymi liczbami są \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\).
Zad. 2
\(\displaystyle{ \frac{(a+1)^{2}}{4(a^{2}-1)}-\frac{1}{a-1}}\)
założenie: \(\displaystyle{ a\neq -1 a\neq 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+1)^{2}}{4(a^{2}-1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)^{2}}{4(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)^{2}-4(a+1)}{4(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)[(a+1)-4]}{4(a-1)(a+1)}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(a+1)(a-3)}{4(a-1)(a+1)}=\frac{a-3}{4(a-1)}}\)