Suma sześcianów i dop. do najprostszej postaci

[kristo91]

Witam!!!

Mam problem z dwoma zadaniami z wielomianów. Bede bardzo wdzięczny za pomoc.

1. Suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych jest równa 216. Jakie to liczby??
2. Doprowadź do najprostszej postaci \(\displaystyle{ \frac{ (a+1)^{2} }{4(a ^{2}-1) }- \frac{1}{a-1}}\)

[Lider_M]

1. Więc te liczby to \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\), podnieś teraz każdą z nich do sześcianu, wymnóż, dodaj, przyrównaj do \(\displaystyle{ 216}\) i rozwiąż równanie.
2. Sprowadź do wspólnego mianownika, wymnóż wszystko co jest w liczniku, doprowadź do postaci iloczynowej, i skróć co się da.

[Mersenne]

Zad. 1

\(\displaystyle{ n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}=216}\)

zał.: \(\displaystyle{ n\in C}\)

\(\displaystyle{ n^{3}+n^{3}+3n^{2}+3n+1+n^{3}+6n^{2}+12n+8=216}\)

\(\displaystyle{ 3n^{3}+9n^{2}+15n-207=0}\)

\(\displaystyle{ 3(n^{3}+3n^{2}+5n-69)=0}\)

\(\displaystyle{ 3(n-3)(n^{2}+6n+23)=0 \iff n=3}\)- spełnia założenie

Zatem szukane liczby to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n=3 \\ n+1=4\\ n+2=5 \end{cases}}\)

Odp.: Szukanymi liczbami są \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\).

Zad. 2

\(\displaystyle{ \frac{(a+1)^{2}}{4(a^{2}-1)}-\frac{1}{a-1}}\)

założenie: \(\displaystyle{ a\neq -1 a\neq 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+1)^{2}}{4(a^{2}-1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)^{2}}{4(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)^{2}-4(a+1)}{4(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)[(a+1)-4]}{4(a-1)(a+1)}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{(a+1)(a-3)}{4(a-1)(a+1)}=\frac{a-3}{4(a-1)}}\)