Parametr i wartość bezwzględna

[xanowron]

1) Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) nierówność \(\displaystyle{ x^{4}+kx^{2}+1>0}\) jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\)?

Wychodzi mi \(\displaystyle{ k \in (-2;2)}\), a powinno \(\displaystyle{ k \in (-2;+ \infty )}\)

2) Mam takie zadania z nierównościami z wartością bezwzględną i pokażę dwa przykłady:

a)\(\displaystyle{ 3x^{2} \leqslant |x^{3}-4x|}\)

b)\(\displaystyle{ |x^{3}-4x|>x^{3}-4x}\)

Potrafię je zrobić, ale że dziś jakoś nie mam głowy to robię na przedziały i schodzi trochę dłużej. Zna ktoś jakiś szybszy sposób (o ile istnieje) na rozwiązanie tego typu nierówności? Byłbym wdzięczny.


Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ Q(x)=x^{4}+x^{3}-x-1}\) wynosi \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+2}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)


Jest to zadanie z jakieś matury i jest tak w kluczu:

1) Zauważenie że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) jest równa reszcie z dzielenia \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+2}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)
2) Wykonanie dzielenia
3) Podanie reszty \(\displaystyle{ R(x)=2x+3}\)

Jako że dziś jestem kompletnie nieprzytomny to z jakiej okazji mam to Zauważyć? Chodzi mi o 1-szy punkt z klucza?

[Lider_M]

1) Po podstawieniu \(\displaystyle{ x^2=t}\) dajemy na funkcję kwadratową \(\displaystyle{ t^2+kt+1}\) takie warunki, by:
a) wykres leżał powyżej osi OX (\(\displaystyle{ \Delta }\)

[xanowron]

Dzięki za odp. rzeczywiście wziąłem tylko jedną opcję.





Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ Q(x)=x^{4}+x^{3}-x-1}\) wynosi \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+2}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)


Jest to zadanie z jakieś matury i jest tak w kluczu:

1) Zauważenie że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) jest równa reszcie z dzielenia \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+2}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)
2) Wykonanie dzielenia
3) Podanie reszty \(\displaystyle{ R(x)=2x+3}\)

Jako że dziś jestem kompletnie nieprzytomny to z jakiej okazji mam to Zauważyć? Chodzi mi o 1-szy punkt z klucza?

[Lider_M]

Można by tak to uzasadnić:

Najpierw nalezałoby zauważyć, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-1}\) oraz \(\displaystyle{ x+1}\), więc jeżeli zapiszemy wielomian W w postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot P(x)+(x^3+x^2+x+2}\)
I jak będziemy dzielić przez \(\displaystyle{ x^2-1}\), to składnik \(\displaystyle{ Q(x)P(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2-1}\) bez reszty, więc właśnie szukana reszta, to zaraz reszta z dzielenia \(\displaystyle{ x^3+x^2+x+2}\) przez \(\displaystyle{ x^2-1}\).