Podaj wspólczynniki, wyznacz pierwiastki, podaj warunek

[prs613]

Dane są wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-5)^{2}, G(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}\),
a) Podaj współczynniki a, b, c, d, e, tak aby wielomiany W(x) G(x) były równe.
b) Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).
c) Podaj warunek, jaki muszą spełniać współczynniki a,b,c,d,e, aby \(\displaystyle{ G(1) = G(-1)}\).

[pajong88]

a) a=1 b=0 c=-10 d=0 e=25 pierwsze ze wzoru skróconego mnożenia i porównujesz
b) \(\displaystyle{ x=-\sqrt{5}}\) lub \(\displaystyle{ x=\sqrt(5}}\)
c) \(\displaystyle{ a+b+c+d+e=a-b+c-d+e}\)
\(\displaystyle{ b+d=-b-d}\)
\(\displaystyle{ b=-d}\)

[Mersenne]

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-5)^{2}=x^{4}-10x^{2}+25}\)

\(\displaystyle{ G(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}\)

a) \(\displaystyle{ W(x)=G(x) \iff x^{4}-10x^{2}+25=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \begin{cases} a=1 \\ b=0\\ c=-10\\ d=0\\ e=25 \end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ W(x)=0 \iff (x^{2}-5)^{2}=0 \iff x^{2}-5=0 \iff (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}}\)

c) \(\displaystyle{ G(1)=a+b+c+d+e}\)

\(\displaystyle{ G(-1)=a-b+c-d+e}\)

\(\displaystyle{ G(1)=G(-1) \iff a+b+c+d+e=a-b+c-d+e \iff 2b+2d=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff b+d=0 \iff b=-d}\)