Pierwiastki równania

[Sig]

Wiadomo, że x1, x2, x3 są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{3}-2x^{2}+x+1=0}\). Ułóż równanie, którego pierwiastkami są:
y1=x1x2, y2=x1x3 i y3=x2x3.
Proszę o pomoc.

[xanowron]

Po pierwsze wzory Viete'a

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}= \frac{-b}{a} \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} = \frac{c}{a}\\x_{1}x_{2}x_{3}= \frac{-d}{a} \end{cases}}\)

Więc dla równania \(\displaystyle{ x^{3}-2x^{2}+x+1=0}\) mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\

x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} = 1\\

x_{1}x_{2}x_{3}= -1\end{cases}}\)

Szukane równanie ma trzy pierwiastki:

\(\displaystyle{ \begin{cases}y_{1}=x_{1}x_{2}\\

y_{2}=x_{1}x_{3}\\

y_{3}=x_{2}x_{3}\end{cases}}\)


Dajemy postać ogólną:

\(\displaystyle{ a(y-y_{1})(y-y_{2})(y-y_{3})=0}\)

Bazując na pierwotnym równaniu \(\displaystyle{ a=1}\)

Teraz podstawiamy:
\(\displaystyle{ (y-x_{1}x_{2})(y-x_{1}x_{3})(y-x_{2}x_{3})=0 \\\\ (y^{2}-yx_{2}x_{3}-yx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3})(y-x_{1}x_{3})=0 \\\\ y^{3}-y^{2}x_{1}x_{3}-y^{2}x_{2}x_{3}+yx_{1}x_{2}x_{3}-y^{2}x_{1}x_{2}+yx_{2}x_{3}x_{1}^{2}-x_{2}^{2}x_{1}^{2}x_{3}^{2}+yx_{1}x_{2}^{2}x_{3}=0 \\\\ y^{3}-(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})y^{2}+(x_{1}x_{2}x_{3})(x_{1}+x_{2}+x_{3})y-(x_{1}x_{2}x_{3})^{2}=0}\)

Porównujemy to co otrzymaliśmy do postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ y^{3}+by^{2}+cy+d=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}b=-(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})\\

c=(x_{1}x_{2}x_{3})(x_{1}+x_{2}+x_{3})\\

d=-(x_{1}x_{2}x_{3})^{2}\end{cases}}\)

I ze wzorów Viete'a dla pierwotnego równania mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}b=-1\\

c=-2\\

d=-1\end{cases}}\)

Szukane równanie ma postać:

\(\displaystyle{ y^{3}-y^{2}-2y-1=0}\)