wielomian z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
nbarox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 16:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice

wielomian z parametrem

Post autor: nbarox »

Określ liczbę rozwiązań podanego równania w zależności od parametru m.
\(\displaystyle{ x ^{3}+(1-m ^{2})x-m=0}\)
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

wielomian z parametrem

Post autor: robin5hood »

\(\displaystyle{ m}\)-jest rozwiązaniem tego równnia -podpowiedz
nbarox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 16:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice

wielomian z parametrem

Post autor: nbarox »

Nie rozumiem ;]
Przekształcam do:
\(\displaystyle{ xm ^{2} +m-(x ^{3} +x=0}\)
Liczę delte i wychodzi sprzeczność
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

wielomian z parametrem

Post autor: Mersenne »

\(\displaystyle{ x^{3}+(1-m^{2})x-m=0}\)

Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+(1-m^{2})x-m}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ W(m)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=m}\) jest jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Zatem dany wielomian możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=(x-m)(x^{2}+mx+1)}\).

\(\displaystyle{ W(x)=0 \iff x^{3}+(1-m^{2})x-m=0 \iff (x-m)(x^{2}+mx+1)=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x-m=0 x^{2}+mx+1=0 \iff x=m x^{2}+mx+1=0}\)

Zauważ, że dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek, tj. \(\displaystyle{ x=m, m\in \mathbb R}\). W zależności od wartości wyróżnika równania kwadratowego \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) wielomian może mieć tylko jeden pierwiastek, dwa pierwiastki lub trzy pierwiastki.

\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4}\)

\(\displaystyle{ 1^{\circ} \quad \Delta0 \iff m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\)

Dla \(\displaystyle{ m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) posiada dwa rozwiązania, czyli dany wielomian ma trzy pierwiastki.

Odp.: Dla \(\displaystyle{ m\in (-2;2)}\) równanie \(\displaystyle{ x^{3}+(1-m^{2})x-m=0}\) ma jedno rozwiązanie, dla \(\displaystyle{ m=-2 m=2}\) dwa rozwiązania, zaś dla \(\displaystyle{ m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\) trzy rozwiązania.
ODPOWIEDZ