Określ liczbę rozwiązań podanego równania w zależności od parametru m.
\(\displaystyle{ x ^{3}+(1-m ^{2})x-m=0}\)
wielomian z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
wielomian z parametrem
Nie rozumiem ;]
Przekształcam do:
\(\displaystyle{ xm ^{2} +m-(x ^{3} +x=0}\)
Liczę delte i wychodzi sprzeczność
Przekształcam do:
\(\displaystyle{ xm ^{2} +m-(x ^{3} +x=0}\)
Liczę delte i wychodzi sprzeczność
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
wielomian z parametrem
\(\displaystyle{ x^{3}+(1-m^{2})x-m=0}\)
Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+(1-m^{2})x-m}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ W(m)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=m}\) jest jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Zatem dany wielomian możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-m)(x^{2}+mx+1)}\).
\(\displaystyle{ W(x)=0 \iff x^{3}+(1-m^{2})x-m=0 \iff (x-m)(x^{2}+mx+1)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x-m=0 x^{2}+mx+1=0 \iff x=m x^{2}+mx+1=0}\)
Zauważ, że dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek, tj. \(\displaystyle{ x=m, m\in \mathbb R}\). W zależności od wartości wyróżnika równania kwadratowego \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) wielomian może mieć tylko jeden pierwiastek, dwa pierwiastki lub trzy pierwiastki.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4}\)
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \quad \Delta0 \iff m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\)
Dla \(\displaystyle{ m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) posiada dwa rozwiązania, czyli dany wielomian ma trzy pierwiastki.
Odp.: Dla \(\displaystyle{ m\in (-2;2)}\) równanie \(\displaystyle{ x^{3}+(1-m^{2})x-m=0}\) ma jedno rozwiązanie, dla \(\displaystyle{ m=-2 m=2}\) dwa rozwiązania, zaś dla \(\displaystyle{ m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\) trzy rozwiązania.
Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+(1-m^{2})x-m}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ W(m)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=m}\) jest jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Zatem dany wielomian możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-m)(x^{2}+mx+1)}\).
\(\displaystyle{ W(x)=0 \iff x^{3}+(1-m^{2})x-m=0 \iff (x-m)(x^{2}+mx+1)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x-m=0 x^{2}+mx+1=0 \iff x=m x^{2}+mx+1=0}\)
Zauważ, że dany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek, tj. \(\displaystyle{ x=m, m\in \mathbb R}\). W zależności od wartości wyróżnika równania kwadratowego \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) wielomian może mieć tylko jeden pierwiastek, dwa pierwiastki lub trzy pierwiastki.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4}\)
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \quad \Delta0 \iff m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\)
Dla \(\displaystyle{ m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) posiada dwa rozwiązania, czyli dany wielomian ma trzy pierwiastki.
Odp.: Dla \(\displaystyle{ m\in (-2;2)}\) równanie \(\displaystyle{ x^{3}+(1-m^{2})x-m=0}\) ma jedno rozwiązanie, dla \(\displaystyle{ m=-2 m=2}\) dwa rozwiązania, zaś dla \(\displaystyle{ m\in (-\infty;-2) \cup (2;+\infty)}\) trzy rozwiązania.