parametr m

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mansik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2008, o 13:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 38 razy

parametr m

Post autor: mansik »

Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań równania

\(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\)

jest dwuelementowy?
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

parametr m

Post autor: Wicio »

Pomocnicza niewiadoma:
\(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} +mt-m=0}\)

Gdy delta = 0 wówczas mamy jedno rozwiązanie dla t, a wiemy,że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) więc będziemy mieli dwa rozwiązania dla x

Czyli:

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ m ^{2} +4m=0}\)
\(\displaystyle{ m(m+4)=0}\)
\(\displaystyle{ m=0}\) lub \(\displaystyle{ m=-4}\)
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

parametr m

Post autor: xanowron »

Lub to drugie równanie ze zmienną pomocniczą będzie miało jedno rozwiązanie ujemne, a drugie dodatnie (niezerowe).
mansik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 9 wrz 2008, o 13:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 38 razy

parametr m

Post autor: mansik »

Mi też tak wyszło ale w odpowiedziach pisze tak:

\(\displaystyle{ m (0, + ) {-4}}\)
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

parametr m

Post autor: Mersenne »

\(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\)

Wprowadźmy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\): \(\displaystyle{ x^{2}=t, t\geq 0}\).

Wówczas mamy:

\(\displaystyle{ t^{2}+mt-m=0}\).

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Gdy \(\displaystyle{ \Delta}\), to równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) nie posiada rozwiązania, a tym samym równanie wyjściowe jest równaniem sprzecznym. Z kolei dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\) równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) ma jedno rozwiązanie, które musi być dodatnie, aby równanie wyjściowe miało \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania.

\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4\cdot (-m)=m^{2}+4m}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0 \iff m^{2}+4m=0 \iff m(m+4)=0 \iff m=-4 \vee m=0}\)

\(\displaystyle{ t_{0}=-\frac{m}{2}}\)

\(\displaystyle{ t_{0}>0 \iff -\frac{m}{2}>0 \iff -m>0 \iff m}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m=-4 \vee m=0 \\ m\in (-\infty;0) \end{cases} \iff m=-4}\)

Natomiast dla \(\displaystyle{ \Delta>0}\) równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) ma dwa różne rozwiązania \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\). Aby równanie wyjściowe miało dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania, musi zachodzić: \(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}}\).

\(\displaystyle{ \Delta>0 \iff m^{2}+4m>0 \iff m(m+4)>0 \iff m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty)}\)

Ze wzorów Viete'a mamy:

\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}=-\frac{m}{1}=-m}\).

\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}0 \iff m\in (0;+\infty)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty) \\ m\in (0;+\infty) \end{cases} \iff m\in (0;+\infty)}\)

Uwzględniamy sumę rozwiązań obu przypadków:

\(\displaystyle{ m=-4 \vee m\in (0;+\infty) \iff m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\)

Odp.: Dla \(\displaystyle{ m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\) zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\) jest dwuelementowy.
ODPOWIEDZ