Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań równania
\(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\)
jest dwuelementowy?
parametr m
- Wicio
- Użytkownik
- Posty: 1318
- Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 561 razy
parametr m
Pomocnicza niewiadoma:
\(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} +mt-m=0}\)
Gdy delta = 0 wówczas mamy jedno rozwiązanie dla t, a wiemy,że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) więc będziemy mieli dwa rozwiązania dla x
Czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ m ^{2} +4m=0}\)
\(\displaystyle{ m(m+4)=0}\)
\(\displaystyle{ m=0}\) lub \(\displaystyle{ m=-4}\)
\(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} +mt-m=0}\)
Gdy delta = 0 wówczas mamy jedno rozwiązanie dla t, a wiemy,że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) więc będziemy mieli dwa rozwiązania dla x
Czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ m ^{2} +4m=0}\)
\(\displaystyle{ m(m+4)=0}\)
\(\displaystyle{ m=0}\) lub \(\displaystyle{ m=-4}\)
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
parametr m
\(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\)
Wprowadźmy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\): \(\displaystyle{ x^{2}=t, t\geq 0}\).
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ t^{2}+mt-m=0}\).
Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Gdy \(\displaystyle{ \Delta}\), to równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) nie posiada rozwiązania, a tym samym równanie wyjściowe jest równaniem sprzecznym. Z kolei dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\) równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) ma jedno rozwiązanie, które musi być dodatnie, aby równanie wyjściowe miało \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4\cdot (-m)=m^{2}+4m}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0 \iff m^{2}+4m=0 \iff m(m+4)=0 \iff m=-4 \vee m=0}\)
\(\displaystyle{ t_{0}=-\frac{m}{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{0}>0 \iff -\frac{m}{2}>0 \iff -m>0 \iff m}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m=-4 \vee m=0 \\ m\in (-\infty;0) \end{cases} \iff m=-4}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ \Delta>0}\) równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) ma dwa różne rozwiązania \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\). Aby równanie wyjściowe miało dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania, musi zachodzić: \(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}}\).
\(\displaystyle{ \Delta>0 \iff m^{2}+4m>0 \iff m(m+4)>0 \iff m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty)}\)
Ze wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}=-\frac{m}{1}=-m}\).
\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}0 \iff m\in (0;+\infty)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty) \\ m\in (0;+\infty) \end{cases} \iff m\in (0;+\infty)}\)
Uwzględniamy sumę rozwiązań obu przypadków:
\(\displaystyle{ m=-4 \vee m\in (0;+\infty) \iff m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\)
Odp.: Dla \(\displaystyle{ m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\) zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\) jest dwuelementowy.
Wprowadźmy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\): \(\displaystyle{ x^{2}=t, t\geq 0}\).
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ t^{2}+mt-m=0}\).
Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Gdy \(\displaystyle{ \Delta}\), to równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) nie posiada rozwiązania, a tym samym równanie wyjściowe jest równaniem sprzecznym. Z kolei dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\) równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) ma jedno rozwiązanie, które musi być dodatnie, aby równanie wyjściowe miało \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-4\cdot (-m)=m^{2}+4m}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0 \iff m^{2}+4m=0 \iff m(m+4)=0 \iff m=-4 \vee m=0}\)
\(\displaystyle{ t_{0}=-\frac{m}{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{0}>0 \iff -\frac{m}{2}>0 \iff -m>0 \iff m}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m=-4 \vee m=0 \\ m\in (-\infty;0) \end{cases} \iff m=-4}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ \Delta>0}\) równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) ma dwa różne rozwiązania \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\). Aby równanie wyjściowe miało dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania, musi zachodzić: \(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}}\).
\(\displaystyle{ \Delta>0 \iff m^{2}+4m>0 \iff m(m+4)>0 \iff m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty)}\)
Ze wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}=-\frac{m}{1}=-m}\).
\(\displaystyle{ t_{1}\cdot t_{2}0 \iff m\in (0;+\infty)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m\in (-\infty;-4) \cup (0;+\infty) \\ m\in (0;+\infty) \end{cases} \iff m\in (0;+\infty)}\)
Uwzględniamy sumę rozwiązań obu przypadków:
\(\displaystyle{ m=-4 \vee m\in (0;+\infty) \iff m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\)
Odp.: Dla \(\displaystyle{ m\in (0;+\infty) \cup \{-4\}}\) zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\) jest dwuelementowy.