k-krotnośc pierwiastków wielomianu

[rewgh]

wykaż, że jeśli wielomian W(x) równy
a)x � +ax+b ma dwukrotny pierwiastek to 4a � +27b � =0
b)x � +ax � +b ma dwukrotny pierwiastek, to jest nim liczba 0 lub a � - 27/4 b=0

[Tomasz Rużycki]

a)

\(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax+b}\)
\(\displaystyle{ W'(x)=3x^2+a}\)

Niech \(\displaystyle{ y}\) - ten podwójny pierwiastek.

\(\displaystyle{ y^3+ay+b=0}\)
\(\displaystyle{ 3y^2+a=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ a=-3y^2}\).

\(\displaystyle{ y^3-3y^3+b=0}\)
\(\displaystyle{ b=2y^3}\)

\(\displaystyle{ y^3=b/2}\)
\(\displaystyle{ y^2=-a/3}\), więc (porób sobie odpowiednie założenia)

\(\displaystyle{ y=\frac{-3b}{2a}}\)

Wstawiając to do wyjściowego równania dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{-27b^3}{8a^3}-\frac{3b}{2}+b=0}\),

równoważnie:

\(\displaystyle{ 27b^2+4a^3=0}\), co kończy dowód.


b) analogicznie.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[rewgh]

a skąd się wzięło W'...??

[ Dodano: Wto Lis 01, 2005 12:20 pm ]
to chyba nie o to chodzi...:/

[Rogal]

Cóż, pochodne odpadają .
W sumie to nie lubię takich zadań. Bo trzeba się okombinować, żeby wykazać coś elementarnie, gdy w tych zadaniach wystarczy tylko znać wyróżnik wielomianu sześciennego i wiedzieć, że dany wielomian ma pierwiastki wielokrotne, gdy wyróżnik jest równy 0.
A tak "po ludzku" to nie wiem, może podzielić wielomian przez ten pierwiastek podwójny, wiedząc, że wielomian reszty jest tożsamościowo równy zero? Coś w ten deseń raczej...

[Lady Tilly]

Mam inną propozycję. Oznaczmu na przykład pierwiastki wielomianu tak: pierwszy dwukrotny jako c drugi jako d wtedy mamy tak
x�+ax+b=(x-d)(x-c)�=x�-2x�c+xc�-x�d+2xdc-dc�
układamy układ równań trzypiętrowy
-2c-d=0
c�+2dc=a
-dc�=b oczywiście a oraz b traktujemy jako konkretne liczy reszta jako niewiadome
teraz z pierwszego równania wyznaczamy d podstawiamy do drugiegoi trzeciego równania.
Otrzymujemy:
-3c�=a
2c�=b
jeśli poczynimy odpowiednie podstawienia to otrzymamy:
\(\displaystyle{ -3(\sqrt[3]{(\frac{b}{2})^{2}}=a}\) podnosimy to do trzeciej potęgi i mamy
\(\displaystyle{ -27\frac{b^{2}}{4}=a^{3}}\)
mnożymy to przez -4 i przenosimy wszystko na lewą stronę. I obyło się bez pochodnych. W drugim przykładzie analogicznie.

[rewgh]

ten drugi przyklad to chyba nie analogicznie do pierwszego...prosze o pomoc nie wiem jak sie zat o wziąć!!

[Lady Tilly]

Robisz podobnie czyli:
x�+ax�+b=(x-d)(x-c)�=x�-2x�c+xc�-x�d+2xdc-dc�
układasz układ równań trzypiętrowy
c�+2dc=0
-2c-d=a
-dc�=b traktujesz a oraz b jako wiadome
dalej dasz radę
c to będzie ten podwójny pierwiastek

[rewgh]

c�+2dc=0 ...a czy to wyrazenie nie jest sprzeczne, bo gdy je przeksztalcimy to c� nie może równać się -2cd..?????

[Lady Tilly]

Jeżeli c oraz d będą różnych znaków to nie będzie sprzeczności

[ Dodano: Sro Lis 02, 2005 9:52 pm ]
W ogóle to podejście Tomasza Rużyckiego jest mi bliższe ale skoro pochodne odpadają...

[rewgh]

nadal nie wime jak to zrobic:(

[doniczek]

\(\displaystyle{ x^3 +ax+b}\) i niech \(\displaystyle{ k}\) bedzie tym pierwiastkiem podwójnym...
Obniz poziom tego wielomianu schematem Hornera....
Po pierwszym obniżeniu otrzymasz, że \(\displaystyle{ W(x)=(x-k)(x^{2}+kx^{2}+k^{2}a) +k^{3}+ka+b}\)
Po drugim obniżeniu otrzymasz \(\displaystyle{ W(x)=(x-k)^{2}(x+2k)+3k^{2}+a}\)
zatem jesli zakładamy ze wielomian ma 2 pierwiastki to reszty sa równe 0 zatem:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}k^{3}+ka+b=0\\3k^{2}+a=0\end{array}\right.}\)

To do mnie jakos bardziej przemawia... pokazałem na pierwszym bo jakis przyjemniejszy się wydawał, a to drugie da sie zrobić podobnie....