\(\displaystyle{ \left|x^4 - 6x^3 + 9 9x^2 \right| =0
ft| x^4 -9\right| - ft|x^2 - 3 \right| = 0
ft|x^4 -3 x^2 -4 \right| = ft| x^2 -4\right|}\)
rownanie
-
idefix
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 17 wrz 2008, o 12:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Chojnice
- Pomógł: 1 raz
rownanie
ad 1.
\(\displaystyle{ \left| x^{4}-6x^{3}+99 x^{2} \right|=0 \Leftrightarrow x^{4}-6x^{3}+99 x^{2}=0}\)
Teraz trzeba przekształcić to równanie, które jest wyżej:
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}-6x+99)=0}\)
wyróżnik trójmianu kwadratowego występującego w nawiasie jest ujemny, więc to wyrażenie nigdy nie jest równe 0.
Stąd \(\displaystyle{ x^{2}=0 \Leftrightarrow x=0}\)
Czyli jest tylko jedno rozwiązanie x=0.
[ Dodano: 20 Września 2008, 10:43 ]
ad 2.
\(\displaystyle{ \left| x^{4}-9 \right| - \left| x^{2}-3\right|=0 \Leftrightarrow \left|x^{4}-9 \right|= \left| x^{2}-3\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})(x^{2}+3) \right|= \left| (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3}) \right|}\)
Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ \left| x\right| > \sqrt{3}}\) , wszystkie wyrażenia w nawiasach po obu stronach są dodatnie, czyli można opuścić moduły i skrócić. Dostaniemy \(\displaystyle{ x^{2}+3=1}\), a to nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych. Dla \(\displaystyle{ \left| x\right| qslant \sqrt{3}}\) wyrażenia w obu modułach są ujemne, czyli jak je opuścimy i pomnożymy przez -1 dostaniemy
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})(x^{2}+3)=(x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})(x^{2}+2)=0 x=\sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=- \sqrt{3}}\)
[ Dodano: 20 Września 2008, 11:08 ]
ad 3.
Tu jest troszkę więcej zabawy chyba. To równanie jest równoważne po rozpisaniu takiemu:
\(\displaystyle{ \left| (x-1)(x+1)(x^{2}+4) \right| = ft|(x-2)(x+2) \right|}\)
Teraz trzeba przyjrzeć się monotoniczności wyrażeń pod każdym z modułów. Najlepiej, jak sobie to narysujesz, ja niestety jeszcze tego nie umiem robić
Wtedy zobaczysz, że dla \(\displaystyle{ x (- ; -2] cup [2; + )}\) obie strony są dodatnie,
dla \(\displaystyle{ x (-1; 1)}\) obie są ujemne, a dla \(\displaystyle{ x (-2; -1) \cup (1; 2)}\) prawa strona jest dodatnia, a lewa ujemna. Pozostaje więc rozwiązać odpowiednie równania, sprawdzić, czy rozwiązania należą do danego przedziału i gotowe. Ponieważ jestem początkującym użytkownikiem forum i dość wolno mi idzie zapisywanie tego wszystkiego, resztę zostawiam Tobie. W razie trudności, pytaj dalej.
\(\displaystyle{ \left| x^{4}-6x^{3}+99 x^{2} \right|=0 \Leftrightarrow x^{4}-6x^{3}+99 x^{2}=0}\)
Teraz trzeba przekształcić to równanie, które jest wyżej:
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}-6x+99)=0}\)
wyróżnik trójmianu kwadratowego występującego w nawiasie jest ujemny, więc to wyrażenie nigdy nie jest równe 0.
Stąd \(\displaystyle{ x^{2}=0 \Leftrightarrow x=0}\)
Czyli jest tylko jedno rozwiązanie x=0.
[ Dodano: 20 Września 2008, 10:43 ]
ad 2.
\(\displaystyle{ \left| x^{4}-9 \right| - \left| x^{2}-3\right|=0 \Leftrightarrow \left|x^{4}-9 \right|= \left| x^{2}-3\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})(x^{2}+3) \right|= \left| (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3}) \right|}\)
Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ \left| x\right| > \sqrt{3}}\) , wszystkie wyrażenia w nawiasach po obu stronach są dodatnie, czyli można opuścić moduły i skrócić. Dostaniemy \(\displaystyle{ x^{2}+3=1}\), a to nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych. Dla \(\displaystyle{ \left| x\right| qslant \sqrt{3}}\) wyrażenia w obu modułach są ujemne, czyli jak je opuścimy i pomnożymy przez -1 dostaniemy
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})(x^{2}+3)=(x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3}) (x+ \sqrt{3})(x^{2}+2)=0 x=\sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=- \sqrt{3}}\)
[ Dodano: 20 Września 2008, 11:08 ]
ad 3.
Tu jest troszkę więcej zabawy chyba. To równanie jest równoważne po rozpisaniu takiemu:
\(\displaystyle{ \left| (x-1)(x+1)(x^{2}+4) \right| = ft|(x-2)(x+2) \right|}\)
Teraz trzeba przyjrzeć się monotoniczności wyrażeń pod każdym z modułów. Najlepiej, jak sobie to narysujesz, ja niestety jeszcze tego nie umiem robić
Wtedy zobaczysz, że dla \(\displaystyle{ x (- ; -2] cup [2; + )}\) obie strony są dodatnie,
dla \(\displaystyle{ x (-1; 1)}\) obie są ujemne, a dla \(\displaystyle{ x (-2; -1) \cup (1; 2)}\) prawa strona jest dodatnia, a lewa ujemna. Pozostaje więc rozwiązać odpowiednie równania, sprawdzić, czy rozwiązania należą do danego przedziału i gotowe. Ponieważ jestem początkującym użytkownikiem forum i dość wolno mi idzie zapisywanie tego wszystkiego, resztę zostawiam Tobie. W razie trudności, pytaj dalej.