pierwiastki wielomianu

[zhdw]

jakie sa pierwiastki tego wielomianu? jak to rozwiazac krok po kroku? bo wg tw. bezouta, to zaden wymierny nie spelnia..

wielomian:
\(\displaystyle{ x^4 + 3x^3 + x^2 - 6x - 2}\)

[maise]

Musisz wielomian rozłożyć na czynniki.
\(\displaystyle{ x^2(x^2-2)+1(x^2-2)+3x(x^2-2)=0

(x^2-2)(x^2+1+3x)=0

x^2-2=0 x^2+1+3x=0}\)
Dalej sobie poradzisz.

[zhdw]

ok, dzięki. A jeszcze powiedz, jaka jest zasada w tym zadaniu, że x musi być w drugiej potędze?

[Sylwek]

Powyżej wielomian został źle rozłożony (byłoby ok, gdyby było \(\displaystyle{ -x^2}\), a nie \(\displaystyle{ =x^2}\) we wzorze wyjściowym).

A wyjściowy wielomian posiada dwa pierwiastki rzeczywiste niewymierne, nie ma pierwiastków wymiernych, pozostają wzory Cardano (Ferrari), bądź obliczenia za pomocą komputera (bądź bardzo sprytne rozłożenie tego na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, ale nie sądzę, aby tu się ładnie złożyło).

[maise]

Racja. Przepraszam za wprowadznie w błąd.

[zhdw]

to ja przepraszam! tam jest -x^2

wiec jak sie dochdzi do tego ze ma byc w nawiasie (x^2-2) ?

[maise]

Rozkładając wielomian na czynniki, musisz przedstawić jeden z wyrazów wielomianu jako sumę dwóch jednomianów. Co do wcześniejszego pytania - każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. W ten sposób możesz łatwo policzyć x przez deltę.

[Mariusz M]

Czemu sprytne rozłożenie ?

Wielomian czwartego stopnia da się dość łatwo rozłożyć na czynniki kwadratowe
albo sprowadzając go najpierw do postaci różnicy kwadratów
(wzory skróconego mnożenia oraz wyróżnik trójmianu kwadratowego)
albo wymnożenie dwóch trójmianów w postaci ogólnej (po uprzednim podstawieniu rugującym wyraz \(\displaystyle{ x^3}\))
i porównanie współczynników

Teoretycznie możliwe jest że Ferrari zastosował pomysł Fontany do równań czwartego stopnia
jednak na pewno nie w taki sposób jaki proponuje użytkownik pgladki ponieważ teoria grup
to "wynalazek" późniejszy (początki to czasy Evariste Galois)
Nie jest wykluczone że Ferrari właśnie rozłożył wielomian na czynniki kwadratowe
Dostęp do tekstu Ars Magna powinien rozwiać wątpliwości ale ty Sylwek i tak nie będziesz w stanie go odczytać
(głównie z powodu tzw "bariery językowej")

Dać to może i się da jednak w przypadku wielomianów wyższych stopni działania arytmetyczne nie wystarczą
dlatego z tym da się to bym był ostrożny (twierdzenie Abela-Ruffiniego) wiadomo że rozkład na czynniki co najwyżej kwadratowe istnieje a jeśli współczynniki wielomianu będą rzeczywiste to współczynniki tego rozkładu też będą rzeczywiste (zespolone pierwiastki będą wtedy parami sprzężone)
Z jednej strony twierdzenie Abela Ruffiniego (w przypadku wielomianów wyższych stopni)
a z drugiej funkcje hipergeometryczne , modularne czy funkcja \(\displaystyle{ \theta}\)

Do rozkładu na ułamki proste
(który się przydaje np do całkowania funkcji wymiernych albo odwracania transformaty Laplace)
lepiej nadaje się te "bardzo sprytne" rozkładanie na czynniki kwadratowe

Wiec chcemy "bardzo sprytnie" rozłożyc ten wielomian na czynniki kwadratowe

1.

Sprowadzenie do różnicy kwadratów

\(\displaystyle{ x^4 + 3x^3 + x^2 - 6x - 2\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x \right)^2-\left( \frac{5}{4}x^2+6x+2 \right)=0\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+ \frac{5}{4}\right) x^2+\left( \frac{3}{2}y+6 \right) x +\frac{y^2}{4} +2 \right)=0\\
\Delta=0\\
\left( y^2+8\right)\left( y+ \frac{5}{4} \right)- \left( \frac{3}{2}y+6 \right)^2=0\\
y^3+ \frac{5}{4}y^2+8y+10- \frac{9}{4}y^2-18y-36=0\\
y^3-y^2-10y-26=0\\}\)

2.

Wymnożenie dwóch trójmianów i porównanie współczynników

\(\displaystyle{ x^4 + 3x^3 + x^2 - 6x - 2\\
x=y- \frac{3}{4}\\
\left( y- \frac{3}{4} \right)^4+3\left( y- \frac{3}{4} \right)^3+\left( y- \frac{3}{4} \right)^2-6\left( y- \frac{3}{4} \right)-2\\
\left( y^4-3y^3+ \frac{27}{8}y^2- \frac{27}{16}y+ \frac{81}{256} \right)+\left( 3y^3- \frac{27}{4}y^2+ \frac{81}{16}y- \frac{27}{64} \right)+\left( y^2- \frac{3}{2}y+ \frac{9}{16} \right)-\left( 6y- \frac{9}{2} \right)-2\\
y^4- \frac{19}{8}y^2- \frac{33}{8}y+ \frac{541}{256}\\
\left( y^2+ay+b\right)\left( y^2-ay+c\right)=y^4- \frac{19}{8}y^2- \frac{33}{8}y+ \frac{541}{256}\\
\left( y^4-ay^3+cy^2+ay^3-a^2y^2+acy+by^2-aby+bc\right)= y^4- \frac{19}{8}y^2- \frac{33}{8}y+ \frac{541}{256}\\
y^4+\left( c+b-a^2\right)y^2+a\left( c-b\right)y+bc= y^4- \frac{19}{8}y^2- \frac{33}{8}y+ \frac{541}{256}\\
\begin{cases} c+b=- \frac{19}{8}+a^2 \\ a\left( c-b\right)=- \frac{33}{8}\\bc= \frac{541}{256} \end{cases} \\
b= \frac{1}{2}\left( a^2- \frac{19}{8}+ \frac{33}{8a} \right)\\
c= \frac{1}{2}\left( a^2- \frac{19}{8}- \frac{33}{8a} \right)\\
\left( c+b\right)^2-\left( c-b\right)^2-4bc=0\\
\left( a^2- \frac{19}{8} \right)^2-\left( - \frac{33}{8a} \right)^2- \frac{541}{64}=0\\
a^6- \frac{19}{4}a^4- \frac{45}{16}a^2- \frac{1089}{64}=0}\)