wielomian i ciąg arytmetyczny

[robin5hood]

Pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2}, x_{3}}\) równania \(\displaystyle{ x^3 -6x^2 + (b+1) x + 2 = 0}\) , gdzie b jest rzeczywistym parametrem, tworzą ciąg arytmetyczny. Podać wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3}}\) .

[Szemek]

Wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego:
Jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \end{cases}}\)

Edit:

\(\displaystyle{ (x-a+r)(x-a)(x-a-r)=x^3+(-3a)x^2+(3a^2-r^2)x+ (-a^3+ar^2) \\
x^3+(-3a)x^2+(3a^2-r^2)x+ (-a^3+ar^2) \equiv x^3 -6x^2 + (b+1) x + 2 \\
\begin{cases} -3a=-6 \\ 3a^2-r^2=b+1 \\ -a^3+ar^2=2 \end{cases} \\
\begin{cases} a=2 \\ 12-r^2-1=b \\ -8+2r^2=2 \end{cases} \\
\begin{cases} a=2 \\ r^2=5 \\ b=6 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{6+1}{1} + \frac{-2}{1}=7-2=5}\)