Reszta z dzielenia wielomianu

[profesorq]

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x-3 wynosi 6 a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x+1 wynosi -2 ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu W(X) przez \(\displaystyle{ x^2 -2x-3}\)

[Viathor]

\(\displaystyle{ x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\\
R(x)=ax+b\\
6=3a+b\\
-2=-a+b\\
R(x)=2x+1}\)

edit : błąd w obliczeniach
\(\displaystyle{ R(x)=2x}\)

[Mersenne]

Resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-p)}\) można obliczyć korzystając z równości: \(\displaystyle{ R=W(p)}\). Z treści zadania wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi \(\displaystyle{ 6}\), zaś przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\) jest równa \(\displaystyle{ -2}\). Stąd mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3)=6 \\ W(-1)=-2 \end{cases}}\)

Ponadto reszta z dzielenia wielomianu jest stopnia niższego niż dzielnik. W naszym przypadku wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) dzielimy przez \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-2x-3}\), zatem reszta będzie postaci: \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\).

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-2x-3)\cdot Q(x)+R(x)}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)}\), to mamy:

\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x+1)\cdot Q(x)+ax+b}\).

Zatem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3)=6 \\ W(-1)=-2 \end{cases} \iff \begin{cases} 3a+b=6 \\ -a+b=-2 \end{cases} \iff \begin{cases} -3a-b=-6 \\ -a+b=-2 \end{cases} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \begin{cases} a=2 \\ b=0 \end{cases}}\)

Stąd mamy: \(\displaystyle{ R(x)=2x}\).

Odp.: Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-2x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ 2x}\).