wielomian z parametrem m

[damiano14]

Rozwiązuję po kolei zadania z kiełbasy i zatrzymałem się na jednym zadaniu. Próbowałem na różne sposoby ale nie wychodzi ...

1. Dla jakich wartości parametru m wielomian \(\displaystyle{ 2x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 10x + m}\) ma pierwiastek trzykrotny ?
I korzystając z okazji jeszcze jedno zadanko z parametrem :
2. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ mx^3 - (2m + 1)x^2 + (2 - 3m)x = 0}\)

Kompletnie nie mam pomysłu na te zadania.

[Szemek]

1.
'Rozwinąć' wielomian \(\displaystyle{ 2(x+a)^3(x+b)}\) i porównać współczynniki

[Elvis]

1. Jeśli ma pierwiastek trzykrotny a, to jest postaci \(\displaystyle{ 2(x-a)^3(x-b)}\).
2. Niekompletna treść. Tak czy owak, możesz wyciągnąć x przed nawias.

[damiano14]

rozkojarzenie... w tym drugim ma być dokłądnie tak :

Dla jakich wartości parametru m równanie mx^3 - (2m + 1)x^2 + (2 - 3m)x = 0 ma rozwiązania, których suma jest dodatnia ?
przepraszam za zamieszanie

[Mersenne]

Zad. 2

\(\displaystyle{ mx^{3}-(2m+1)x^{2}+(2-3m)x=0}\)

\(\displaystyle{ x[mx^{2}-(2m+1)x+(2-3m)]=0 \iff x=0 \vee mx^{2}-(2m+1)x+2-3m=0}\)

Jednym z pierwiastków danego równania jest \(\displaystyle{ 0}\). Szukamy takich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których suma pierwiastków równania jest dodatnia.

Zobaczmy, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ mx^{2}-(2m+1)x+2-3m}\) jest wyrażeniem liniowym, tzn. gdy \(\displaystyle{ m=0}\):

\(\displaystyle{ 1^{\circ} \quad m=0}\)

\(\displaystyle{ -x+2=0 \iff -x=-2 \iff x=2}\)

Dla \(\displaystyle{ m=0}\) suma pierwiastków równania \(\displaystyle{ mx^{3}-(2m+1)x^{2}+(2-3m)x=0}\) jest równa \(\displaystyle{ 0+2=2>0}\).

Zobaczmy, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ mx^{2}-(2m+1)x+2-3m}\) jest wyrażeniem kwadratowym, tzn. gdy \(\displaystyle{ m\neq0}\):

\(\displaystyle{ 2^{\circ} \quad m\neq0}\)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\displaystyle{ \Delta=(2m+1)^{2}-4m(2-3m)=4m^{2}+4m+1-8m+12m^{2}=16m^{2}-4m+1}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ \forall_{m\in \mathbb R} \quad 16m^{2}-4m+1>0}\).

Dla \(\displaystyle{ m\neq0}\) równanie \(\displaystyle{ mx^{2}-(2m+1)x+2-3m=0}\) ma dwa różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\).

Aby suma pierwiastków równania \(\displaystyle{ mx^{3}-(2m+1)x^{2}+(2-3m)x=0}\) była dodatnia, musi zachodzić: \(\displaystyle{ 0+x_{1}+x_{2}>0}\).

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0 \iff \frac{2m+1}{m}>0 \iff m(2m+1)>0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff 2m\left(m+\frac{1}{2}\right)>0 \iff m\in ft(-\infty;-\frac{1}{2}\right) \cup (0;+\infty)}\)

Ostatecznie bierzemy sumę obu warunków:

\(\displaystyle{ m\in ft(-\infty;-\frac{1}{2}\right) \cup ft(-\infty;-\frac{1}{2}\right) \cup }\)

[damiano14]

wielkie dzięki

Szemek ! a mogę wiedzieć skąd Ci się wzięło coś takiego ?:
1.
'Rozwinąć' wielomian 2(x+a)^3(x+b) i porównać współczynniki

Jak ten wielomian co ja napisałem doprowadziłęś akurat do takiej postaci ? jest na to jakiś wzór ? heh

[Szemek]

Korzystam z postaci iloczynowej wielomianu. Dla wygody przyjąłem, że trzykrotnym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \boxed{-a}}\) i jednokrotnym \(\displaystyle{ \boxed{-b}}\) - chodzi o wyznaczenie parametru \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ 2(x+a)^3(x+b)=2x^4+(6a+2b)x^3+(6a^2+6ab)x^2+(2a^3+6a^2b)x+2a^3b \\
2x^4+(6a+2b)x^3+(6a^2+6ab)x^2+(2a^3+6a^2b)x+2a^3b \equiv 2x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 10x + m \\
\begin{cases} 6a+2b=-2 \\ 6a^2+6ab=-6 \\ 2a^3+6a^2b=10 \\ 2a^3b=m \end{cases}}\)
po rozwiązaniu układu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-1 \\ b=2 \\ m=-4 \end{cases}}\)

[damiano14]

stary ale Ty masz głowę do tych zadań !

A powiedz mi jeszcze , założyłeś coś takiego : 2( a + 3)^3(x + b) a gdyby ten wielomian był stopnia 5 np to wtedy by było tak ? : 2( x + a )^3 ( x + b )^2 ??

[Szemek]

a gdyby ten wielomian był stopnia 5 np to wtedy by było tak ? : 2( x + a )^3 ( x + b )^2 ??

Jeśli współczynnik przy \(\displaystyle{ x^5}\) byłby równy 2 oraz wielomian miałby dwa pierwiastki: trzykrotny i dwukrotny to tak właśnie by było