jeden dowód i zadanie

[damiano14]

Witam! mam wielki problem z jednym zadaniem:
1. Wykaż że jeżeli wielomian w(x) = x^3 +ax + b ma pierwiastek dwukrotny to :4a^3 + 27b^2 = 0 ? Jeżeli macie jakieś pomysły to bardzo proszę o odpowiedź

I jest jeszcze drugie zadanie którego nie mogę dokończyć:

2. Reszta z dzielenia wielomianu x^3 + px^2 - x + q przez trójmian (x+2)^2 wynosi 1 - x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. Zrobiłem tak :
W(-2) = 3 czyli 3 = -8 +4p + 2 + q => 9 = 4p + q i to by było pierwsze równanie. Jak patrzyłem w odp. to by się zgadzało bo p=3 i q= -3 ale nie mogę wymysleć drugiego równania.

To by było na tyle. Z góry dzięki za odpowiedzi:)

[Lorek]

1. https://matematyka.pl/80737.htm

[Mersenne]

Zad. 2

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)^{2}\cdot Q(x)+1-x}\)

Wykonując pisemnie dzielenie, otrzymamy:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)^{2}\cdot (x+p-4)+x(11-4p)-4(p-4)+q}\)

\(\displaystyle{ R(x)=x(11-4p)-4(p-4)+q}\)- reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez trójmian \(\displaystyle{ (x+2)^{2}}\)

Z treści zadania wiemy, iż reszta ta wynosi \(\displaystyle{ 1-x}\), zatem musi zachodzić równość:

\(\displaystyle{ x(11-4p)-4(p-4)+q=-x+1 \iff \begin{cases} 11-4p=-1 \\ -4(p-4)+q=1 \end{cases}\iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \begin{cases} -4p=-12 \\ -4p+16+q=1 \end{cases}\iff \begin{cases} p=3 \\ -12+16+q=1 \end{cases} \iff \begin{cases} p=3 \\ q=-3 \end{cases}}\)

Stąd wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3}\)

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\):

\(\displaystyle{ W(x)=0 \iff x^{3}+3x^{2}-x-3=0 \iff x^{2}(x+3)-(x+3)=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff (x+3)(x^{2}-1)=0 \iff (x+3)(x-1)(x+1)=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x=-3 x=-1\vee x=1}\)

Odp.: Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) są liczby: \(\displaystyle{ -3, -1, 1}\).

[damiano14]

Z treści zadania wiemy, iż reszta ta wynosi 1-x, zatem musi zachodzić równość:

x(11-4p)-4(p-4)+q=-x+1 iff egin{cases} 11-4p=-1 \ -4(p-4)+q=1 end{cases}iff


mogła byś wyjaśnić skąd Ci się to tak uprościło ładnie do postaci 11-4p = -1 i -4(p-4) +q = 1
? będę bardzo wdzięczny ;0

[Elvis]

Chodziło o to, że wielomian \(\displaystyle{ x(11-4p)-4(p-4)+q}\) jest równy wielomianowi \(\displaystyle{ -x+1}\), co oznacza, że współczynniki obu wielomianów są odpowiednio równe: \(\displaystyle{ 11-4p=-1}\) (współczynniki przy x) i \(\displaystyle{ -4(p-4)+q=1}\) (wyrazy wolne).

[damiano14]

thx elvis