szukanie pierwiastków niewymienych wielomianu

[Qasi]

\(\displaystyle{ x^5-2x^{3}-x^2+2>0}\)

do znalezienia perwszego pierwiastka tego wielomianu uzylem shematu Hornera
w odpowiedzi do tego zadania jest takrze \(\displaystyle{ sqrt2}\) jako pierwiastek co by się zgadzało po podstawieniu

Ale mam pytanie czy jest jakies twierdzenie albo shemat służące do odnajdywania pierwiastków niewymiernych w wielomianach?

Jak takie wielomiany puźniej dzielic przez liczbe niewymierną??

Z góry dzięki za pomoc

[juzef]

Ten wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2-2}\). Przy okazji liczba 1 wydaje się być pierwiastkiem. Po podzieleniu dostajesz wielomian stopnia drugiego, którego pierwiastki możesz bez problemu wyznaczyć. Istnieją wzory na pierwiastki wielomianów stopnia niższego niż 5. Udowodniono też, że dla wielomianów stopnia wyższego nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki.

[Qasi]

to że się dzielli przez \(\displaystyle{ x^2 -2}\) to wiem ale jaki wzór zastosowałeś szukając tego pierwiastka??

[juzef]

Nie zastosowałem żadnego wzoru, zauważyłem po prostu.

[Alex]

Aby znależć pierwiastki wielomianu możesz go zamienić na postać iloczynową.

\(\displaystyle{ x^{5}-2x^{3}-x^{2}+2=x^{2}(x^{3}-1)-2(x^{3}-1)}\)

Wspólny czynnik wyciągamy przed nawias.

\(\displaystyle{ (x^{3}-1)(x^{2}-2)}\)

I tu są oczywiście wzory skróconego mnożenia.

\(\displaystyle{ (x-1)(x^{2}+x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}\)

Czyli pierwiastkami tego wielomianu są liczby\(\displaystyle{ x_{1}=1,x_{2}=\sqrt{2},x_{3}=-\sqrt{2}}\)