Zadanie z wielomianem

[golden]

Zbadaj czy istnieje wielomian W trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych, taki że:
W(1)=2, W(2)=3, W(3)=1

Do głowy przychdzi mi tylko jeden sposób, aby ułożyć układ. No ale są 3 równania i cztery niewiadome. Proszę o wskazówki.

[Tomasz Rużycki]

Nie istnieje.

Niech wielomian będzie postaci \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\).


\(\displaystyle{ \{a+b+c+d=2\\8a+4b+2c+d=3\\27a+9b+3c+d=1}\)

Odejmując etc. powyższe równania stronami dostajemy \(\displaystyle{ 12a+2b=-3}\), czego nie spełniają żadne \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}}\).


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[goldenka]

Cześć, niestety nie bardzo rozumiem:(
Z tego co mi powychodziło to ostateczne równanie wyszło 20a+6b+2c+d=0
A te twoje 12a+2b=-3 to nie mam pojęcia z kąd
a co to jest za zbiór liczb Z? Złożone czy jakieś?

upsss szczerze mówiąc to muszę się przyznać, że CHYBA NIE WIEM jak się dodaje stronami. Co za wstyd... Za każdym razem co innego wychodzi...

[Tomasz Rużycki]

Tak sobie oznaczyłem zbiór liczb całkowitych (zwykle się tak oznacza, \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) jest zarezerwowane dla zespolonych ).


Odejmując drugie równanie od trzeciego dostaje:

\(\displaystyle{ 19a+5b+c=-2}\), a odejmując pierwsze od drugiego:

\(\displaystyle{ 7a+3b+c=1}\), a teraz odejmując te dwa równania dostajemy:

\(\displaystyle{ 12a+2b=-3}\)

Mam nadzieje, że teraz już jasne.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[goldenka]

oki nauczyłam się odejmować stronami
No ale powiedzmy, że nie mam tak wyrafinowanego oka i nie widzę, że dla 12a+2b=-3 nie ma takich a,b należących do rzeczywistych.
Więc jak to ładnie udowodnić, że to co napisałeś, jest prawdą?

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ 12a+2b\equiv 0 od 2}\), a \(\displaystyle{ -3\equiv 1\pmod 2}\).

A, jeszcze jedno. Przecież \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\ni a,b}\), a nie do rzeczywistych.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Ania91Ania]

Ja dalej nie rozumiem samej koncowki tego dowodu, moze nie jestem na tym poziomie matematyki, ale ie wiem co to znaczy