równanie

[olussskaaa]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) pierwiastki \(\displaystyle{ x_1}\),\(\displaystyle{ x_2}\),\(\displaystyle{ x_3}\) równania \(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x+m=0}\)spełniaja warunki: \(\displaystyle{ x_2=x_1\cdot q}\),\(\displaystyle{ x_3=x_1\cdot q^2}\)? Wyznacz te pierwiastki.

[Mortify]

wprowadźmy takie oznaczenia żeby sie nie pomylić
\(\displaystyle{ x_1=a}\), \(\displaystyle{ x_2=b}\), \(\displaystyle{ x_3=c}\)
dany wielomian możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=0}\), ponieważ przy najwiekszej potedze mamy 1 to jest bez wspolczynnikow
po wymnozeniu mamy:
\(\displaystyle{ x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc=0}\)
w treści zadania mamy ten sam wielomian zapisany \(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x+m=0}\)
skoro te wielomiany są równe to maja równe wspólczynniki:
\(\displaystyle{ -(a+b+c)=-3}\)
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=-6}\)
\(\displaystyle{ -abc=m}\)
mamy tez zaleznosc: \(\displaystyle{ c=aq^2}\) i \(\displaystyle{ b=aq}\). podstawmy to:
\(\displaystyle{ a+aq+aq^2=3}\)
\(\displaystyle{ a^2q+a^2q^2+a^2q^3=-6}\)
\(\displaystyle{ -a^3q^3=m}\)
po podzieleniu drugiej równości przez pierwsza otrzymujemy:
\(\displaystyle{ aq=-2}\)
podstawiamy do trzeciego rownania i mamy:
\(\displaystyle{ -(-2)^3=m m=8}\)
\(\displaystyle{ x_2=-2}\)
podstawmy wyliczone m do wzoru:
\(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x+8=0}\)
rozlozmy na czynniki, wiemy ze jednym z pierwiastkow jest -2:
\(\displaystyle{ x^3+2x^2-5x^2-10x+4x+8=0}\)
\(\displaystyle{ )x+2)(x^2-5x+4)=0}\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x-1)(x-4)=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_2=-2}\)
\(\displaystyle{ x_3=4}\)